Условная вероятность

Два случайных события А₁ и А₂ называются независимыми, если вероятность каждого из них Р(А_j) не меняется в связи с наступлением или не наступлением другого. В противном случае события будут зависимыми. В реальном мире существуют связи между любыми событиями. Вопрос лишь в том, насколько эти связи сильные или слабые (связи, которыми можно пренебречь).

Условной вероятностью события А₁ по отношению к событию А₂ называется вероятность наступления события А₁, вычисленная при условии наступления события А₂. Условная вероятность обозначается как

Если , то по определению

Помни: Не путай независимость событий с их

несовместимостью . Для несовместных событий

Примечание. В теории вероятности операции обозначают пересечение множеств или логическое умножение, операции – их объединение или логическое сложение.

Свойства независимых несовместных событий А₁ и А₂

· Вероятность объединения (вероятность наступления хотя бы одного из событий) равна сумме вероятностей этих событий

· Вероятность совмещения (вероятность наступления обоих событий) равна произведению их вероятностей

Свойства зависимых событий А₁ и А₂

· Вероятность совмещения

· Вероятность объединения

Пример 2.1. Определить вероятность того, что партия из 100 изделий, среди которых 5 бракованных, будет принята, если условия приема допускают не более 1 бракованного изделия из 50 проверенных.

Решение. Из 100 изделий 50 можно выбрать способами. Из 100–5 =95 исправных изделий 50 можно выбрать способами.

Пусть – вероятность того, что ни одно бракованное изделие не попадется при испытании

– вероятность того, что только одно бракованное изделие попадется при испытании

Тогда вероятность приема партии

так как события А и В несовместны.

Искомая вероятность приема партии

Пример 2.2. Причинами неисправности двигателя автомобиля могут быть: А – нарушение топливоподачи, В – нарушения зажигания. При испытаниях вероятности в том и другом случае составили соответственно P(A)= 0,1; P(B)= 0,3. Найти вероятность отказа двигателя при очередном испытании.

Решение. Событие А и В совместны. Следовательно, искомая вероятность

Пример 2.3. Автомат заряжен пятью патронами, два из которых холостые. Производится два выстрела. Определить вероятность того, что оба выстрела будут холостые.

Решение. Обозначим через событие А – первый холостой выстрел, через противоположное событие – боевой выстрел: Тогда

Поскольку соотношение между холостыми и боевыми патронами меняется, то вероятность второго холостого выстрела (событие В) зависит от того, какое событие было перед ним. Следовательно, событие А и В зависимы. Условная вероятность события В\А

Вероятность двукратного холостого выстрела – совмещение событий А и В для зависимых событий: