Основные типы проекций

В математическом смысле проекции - это преобразования точек пространства размерности n в точки пространства размерности меньшей, чем n, или, как еще говорят, на подпространство исходного пространства. В компьютерной графике рассматриваются преимущественно проекции трехмерного пространства образа на двумерную картинную плоскость. Проекция трехмерного объекта, представленного в виде совокупности точек, строится при помощи прямых проецирующих лучей, которые называются проекторами и которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию.

Определенный таким образом класс проекций называют плоскими геометрическими проекциями, поскольку проецирование в этом случае производится на проекционную плоскость и в качестве проекторов используются прямые. Существуют и другие проекции, в которых проецирование осуществляется на криволинейные поверхности или же проецирование осуществляется не с помощью прямых (такие проекции используются, например, в картографии).

Следует отметить, что, приводя иллюстрации к данной лекции, мы вынуждены использовать те же самые проекции, методы построения которых собираемся описать. Хочется надеяться, что материал из-за этого не будет выглядеть более неясным, чем при отсутствии рисунков.

Рис. 8.1. Проекция параллельным пучком лучей

Рис. 8.2. Центральная проекция

Плоские геометрические проекции подразделяются на два основных класса: центральные и параллельные. Различие между ними определяется соотношением между центром проекции и проекционной плоскостью. Если расстояние между ними конечно, то проекция будет центральной, если же оно бесконечно, то проекция будет параллельной. Параллельные проекции названы так потому, что центр проекции бесконечно удален и все проекторы параллельны. При описании центральной проекции мы явно задаем ее центр проекции, в то время как, определяя параллельную проекцию, мы указываем направление проецирования. На рис. 8.1 и 8.2 показаны две различные проекции одного и того же отрезка, а также проекторы, проходящие через его конечные точки. Поскольку проекция отрезка сама является отрезком, то достаточно спроецировать одни лишь конечные точки и соединить их.

Центральная проекция порождает визуальный эффект, аналогичный тому, к которому приводят фотографические системы или зрительная система человека, и поэтому используется в случаях, когда желательно достичь определенной степени реалистичности. Этот эффект называется перспективным укорачиванием: по мере увеличения расстояния от центра до объекта размер получаемой проекции уменьшается. Это, с другой стороны, означает, что хотя центральная проекция объектов является реалистичной, она оказывается непригодной для представления точной формы и размеров объектов: из проекции нельзя получить информацию об относительных расстояниях; углы сохраняются только на тех гранях объекта, которые параллельны проекционной плоскости; проекции параллельных линий в общем случае не параллельны. Так, при центральной проекции куба в большинстве случаев мы получаем картину, вообще не имеющую параллельных отрезков.

Параллельная проекция порождает менее реалистичное изображение, поскольку отсутствует перспективное укорачивание, хотя при этом могут иметь место различные постоянные укорачивания вдоль каждой из осей. Проекция фиксирует истинные размеры (с точностью до скалярного множителя), и параллельные прямые остаются параллельными. Как и в случае центральной проекции, углы сохраняются только на тех гранях объекта, которые параллельны проекционной плоскости.