Задача 7. Найти координаты точки М1, симметричной точке М(5;-2;-1) относительно плоскости p: 4х+10у-8z-53=0 и точки М2

Найти координаты точки М₁, симметричной точке М(5;-2;-1) относительно плоскости p: 4х+10у-8z-53=0 и точки М₂, симметричной точке М относительно прямой l:

Решение. Найдем точку М₁. Эта точка симметрична точки М относительно заданной плоскости p, лежит на прямой М₁М перпендикулярной плоскости p. При этом точка пересечения прямой М₁М и плоскости p (обозначим ее О) делит отрезок М₁М пополам (рис.4)

Рис.4

М

О

p

М1

 

 

Составим уравнение прямой М₁М. Поскольку прямая М₁М перпендикулярна плоскости p, то вектор нормали плоскости p будет являться направляющим вектором прямой М₁М, т.е. Воспользуемся каноническим уравнением прямой , где (х₀,у₀,z₀) – координаты точки, принадлежащей прямой, {m,n,p} – координаты направляющего вектора прямой. В нашем случае (х₀,у₀,z₀) – это координаты точки М; {m,n,p}={4;10;-8}. Значит уравнение прямой М₁М имеет вид:

Запишем уравнение прямой М₁М в параметрическом виде

Найдем координаты точки О – точки пересечения прямой М₁М и плоскости p. Для этого решим систему уравнений:

Подставляя x,y,z из первых трех уравнений в четвертое, получим

4(5+4t)+10(-2+10t)-8(-1-8t)-53=0 или 180t-45=0, откуда t=1/4.

Определим координаты точки О:

х=5+4(1/4)=6; у=-2+10(1/4)=1/2; z=-1-8(1/4)=-3.

О(6;1/2;-3).

Найдем координаты точки М₁, воспользовавшись формулами деления отрезка пополам. В нашем случае О – это середина отрезка М₁М, поэтому эти формулы запишутся в виде

Следовательно, М₁(7;3;-5).

Найдем координаты точки М₂. Эта точка симметричная точке М относительно заданной прямой l, лежит на прямой М₂М, перпендикулярной прямой l. При этом точка пересечения прямых О делит отрезок М₂М пополам (рис.5).

 

 

a

l

О

М2

М

Рис.5

 

 

Составим уравнение плоскости a, проходящей через точку М, перпендикулярно заданной прямой l. Поскольку прямая l перпендикулярна плоскости a, то направляющий вектор прямой l будет являться вектором нормали для плоскости a. Поэтому можно воспользоваться формулой А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0, где (х₀,у₀,z₀) – координаты точки, принадлежащей плоскости, {А,В,С} – координаты вектора нормали плоскости. В нашем случае (х₀,у₀,z₀) – это координаты точки М, а {А,В,С}= . Следовательно,

2(х-5)-1(у+2)+2(z+1)=0 или 2х-у+2z-10=0 – уравнение плоскости a, содержащей прямую ММ₂.

Запишем уравнение заданной прямой l в параметрическом виде

Найдем координаты точки О – точки пересечения заданной прямой l и плоскости a. Для этого решим систему уравнений

Подставим x,y,z из первых трех уравнений в четвертое, получим

2(5+2t)-(1-t)+2(-4+2t)-10=0 или 9t-9=0, откуда t=1. Определим координаты точки О: х=5+2×1=7; у=1-1=0; z=-4+2×1=-2. Следовательно, О(7;0;-2). Найдем координаты точки М₂, воспользовавшись формулами деления отрезка пополам. В нашем случае О – середина отрезка ММ₂, поэтому эти формулы запишутся в виде:

Следовательно, М₂(9;2;-3).