Контрольная работа №1. А) построить пирамиду АВСD

1. Даны координаты вершин пирамиды АВСD.

А(2;2;2) В(4;3;3) С(4;5;4) D(5;5;6.)

а) построить пирамиду АВСD;

б) найти ее объем V_ABCD;

в) найти площадь DABC S_DABC;

г) найти cos(AB^ÙAC);

д) найти пр_ADAC.

Ответ: б) ; в) ; г) ;

д) .

2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах

.

Ответ: .

Найти длину вектора , если

Ответ: .

Контрольная работа №2

1. Даны координаты точек А(2; 2); В(-2; -8); М(-6; -2).

а) написать общее уравнение прямой (АВ);

б) найти расстояние от точки М до прямой (АВ);

в) написать уравнения прямых, проходящих через точку М параллельно и перпендикулярно прямой (АВ).

Ответ: а) 5х-2у-6=0; б) ; в) 5х-2у+26=0; 2х+5у+22=0.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через левый фокус кривой параллельно прямой 3x-2y+1=0. Построить прямую и кривую.

Ответ: 3х-2у+12=0.

3. Даны координаты точек А(2; 3; 3); В(1; 1; 1); С(3; 3; 2).

а) написать параметрические и канонические уравнения прямой (АВ);

б) написать уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой (АВ);

в) написать общее уравнение плоскости АВС;

г) найти расстояние начала координат до плоскости АВС;

д) найти угол между прямой (АО) и плоскостью АВС;

е) найти проекцию точки О на плоскость АВС.

Ответ: а) ; ; б) ;

в) 2х-3у+2z-1 =0; г) ; д) ; е) .

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

 

1.Векторы: длина и направление, коллинеарность и компланарность. Равенство векторов.

2.Линейные операции над векторами и их свойства.

3.Линейное векторное пространство.

4. Линейная зависимость и независимость. Теоремы о линейной зависимости.

5.Геометрический смысл линейной зависимости на плоскости и в трехмерном пространстве.

6.Базис и система координат. Единственность разложения вектора по базису. Теоремы о координатах суммы векторов и произведении вектора на число.

7.Преобразование координат вектора при смене базиса.

8.Аффинные пространства. Аффинные системы координат.

9.Проекция вектора на ось. Теоремы о проекции вектора на ось.

10.Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.

11.Евклидовы, нормированные и метрические пространства. Неравенства Коши - Буняковского и треугольника.

12.Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

13.Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

14.Двойное векторное произведение. Условия ассоциативности векторного произведения.

15.Деление отрезка в заданном отношении.

16.Полярные и обобщенные полярные координаты на плоскости.

17.Цилиндрическая и сферическая системы координат.

18.Различные виды уравнений прямой на плоскости.

19.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

20.Геометрический смысл неравенств первого порядка.

21.Различные виды уравнений плоскости в пространстве.

22.Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

23.Различные виды уравнений прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

24.Взаимное расположение прямых в пространстве.

25.Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

26.Эллипс.

27.Гипербола.

28.Парабола.

29.Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

30.Упрощение общего уравнения линии второго порядка при параллельном переносе.

31.Упрощение общего уравнения линии второго порядка при повороте осей координат.

32.Классификация кривых второго порядка.

33.Основные поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды.

34.Цилиндрические поверхности.

35.Конические поверхности.

36.Классификация поверхностей второго порядка.

37.Инварианты общего уравнения кривой второго порядка.

38.Инварианты общего уравнения поверхности второго порядка.

 

Примерные варианты экзаменационных билетов (практическая часть)

Вариант 001

 

1. Найдите , если .

2. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах , если

3. Даны точки А(4;2;5); В(0;7;1), С(0;2;7); Д(1;5;0).

а) найдите S_DАВС;

б) найдите объем пирамиды АВСД.

4.. Напишите уравнение прямой, проходящей через правый фокус линии 16 х ²+25 у ²=400 и ее нижнюю вершину.

5.. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(5;4;2) параллельно прямой

6. Назовите поверхность, заданную уравнением
6x² – 2y² + 3z² = 19 и нарисуйте ее.

 

Вариант 002

 

1. Какой угол образуют единичные векторы , если известно, что векторы ортогональны?

2. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах , если и угол между ними α = 60º .

3. Даны точки А(2;1;3); В(-2;6;7), С(-2;1;5); Д(-1;4;-2).

а) найдите S_DАВС;

б) найдите объем пирамиды АВСД.

4. Напишите уравнение прямой, проходящей через фокус линии у ²=-4 x перпендикулярно прямой 7 х -3 у +2=0.

5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости х +4 у -3 z +7=0.

6. Назовите поверхность, заданную уравнением
3x² – 2y – 4z² = 0 и нарисуйте ее.

 

Ответы:

Вариант 001: 1) -25; 2) 5; 3) а /S_D= ; б) V=29/3; 4) 4х-3у-12=0;

5) ; 6) однополосный гиперболоид, ось Оу.

Вариант 002: 1) 2) 51; 3) а /S_D= ; б) V=77/3; 4)3x+7y+3=0; 5) 4x-7y-8z+25=0; 6) гиперболический параболоид, ось Оу.

 

Список рекомендУЕМой литературы

ОСНОВНАЯ

1) учебники

1. Кузютин, В.Ф. геометрия:.учебник для вузов./ В.Ф. Кузютин, Н.А.Зенкевич, В.В. Еремеев.-СПб.:«Лань», 2003.

2. Бугров, Я.С. Высшая математика / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Дрофа, 2003.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. – М.: Физматлит, 2002.

4. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. − 2-е изд., испр. − М.: Айрис-пресс, 2002. – Ч. 1.

 

2) задачники

 

5. Болгов., В.А. Сборник задач по математике для втузов. Ч.1. Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб. пособие для втузов/ В.А. Болгов., Б.П. Демидович, А.В. Ефимов и др.; под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1993.

6. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов./ В.П. Минорский. – М.: физ-мат. лит., 2004. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. I курс / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – 7-е изд.– М.: Айрис-пресс, 2008.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

7. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М.: Физматлит, 2006.

8. Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. - М.: Наука, 1999.

9. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1999. – Ч. 1.

10. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. – М.: Профессия, 2006.

11. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры./ Д.В. Беклемишев. – М.: физматлит., 2001.