Замечание 1

После подстановки выражений для х и у в уравнение кривой могут получиться уравнения вида

1) ax '²+ bx '+ cy '²+ dy '+ f =0. В этом случае полные квадраты следует выделять по переменным x ' и y ';

2) ax '²+ dy '+ f =0 или cy '²+ bx '+ f =0. В этом случае уравнения следует записывать в виде

ax '²+ d(y '+ )=0 или су '²+ b(x '+ )=0 и сделать замену переменных следующим образом:

x "= x ' или x "= x '+ ;

y "= y '+ y "= y ';

3) ax '²+ bx '+ dy '+ f =0 или cy '²+ dy '+ bx '+ f =0. В этом случае сначала необходимо выделить полные квадраты (в первом уравнении по переменной х ', во втором – по у '), потом линейную часть уравнения представить так, как описано в пункте 2 этого замечания, а затем ввести замену переменных.

Таким образом, получим

x "²+3 y "²=12 или – уравнение эллипса.

1. Построим систему координат Оху (рис.2).

2. Построим систему координат Ох'y'. Для этого повернем оси на угол a=45° против часовой стрелки.

3. В системе координат Ох'y' отметим точку О'(0; ).

4. Построим систему координат О'x"y";. Для этого через точку О' параллельно осям х' и y' проведем оси х" и y".

5. В системе координат О'x"y"; построим эллипс .

y

x";

x'

О'

-2

y'

y";

x

-2Ö3

2Ö3

Рис. 6

 

 

6. Определяем область решения первого неравенства. Построенный эллипс разбил плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. В системе координат Оху выберем произвольную точку, не лежащую на кривой, например, т. О(0;0) и подставим ее координаты в исходное равенство. 2×0²-2×0×0+2×0²+6×0-6×0-6£0, -6£0 – верно.

Значит, множеством решений первого неравенства будет область, которой принадлежит выбранная точка О, т.е. внутренняя часть эллипса.