Задача 9. Решение. Поскольку для квадратичной формы а 11х2+а 22у2+а 33z2+2a 12xy+2a 13xz+2a 23yz матрица имеет вид

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 3х²+3у²-2yz+3z²-1=0 с помощью теории квадратичных форм. Сделать чертеж поверхности в канонической системе координат.

Решение. Поскольку для квадратичной формы а ₁₁х²+ а ₂₂у²+ а ₃₃z²+2 a ₁₂xy+2 a ₁₃xz+2 a ₂₃yz матрица имеет вид

то в нашем примере матрица старших членов уравнения поверхности имеет вид

Найдем собственные значения этой матрицы. Для этого составим и решим характеристическое уравнение

которое приводится к виду (3-l)³-(3-l)=0 или (3-l)(l²-6l+8)=0. Отсюда находим l₁=3, l₂=2, l₃=4. Найдем собственные векторы для каждого собственного значения.

Пусть – собственный вектор. Координаты собственных векторов являются решениями системы (А-lЕ) . В нашем случае эта система имеет вид

При l₁=3 получаем систему

Следовательно, в системе 2 главные неизвестные, 1 свободная. Пусть х ₁- свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х ₁=1. Тогда получаем собственный вектор для собственного значения l₁=3.

При l₂=2 получаем систему

Следовательно, в системе две главные неизвестные, одна свободная. Пусть х ₃ – свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х ₃=1. Тогда получаем систему

Значит, собственный вектор для собственного значения l₂=2.

При l₃=4 получаем систему

Следовательно, в системе две главные неизвестные, одна свободная. Пусть х ₃ – свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х ₃=1. Тогда получаем систему

Значит, собственный вектор для собственного значения l₃=4.

Пронормируем собственные векторы.

следовательно,

следовательно,

следовательно,

Запишем матрицу преобразования координат

Отсюда получаем формулы преобразования координат x=x'; y= y'- z'

z=

Значения х,у,z подставим в исходное уравнение поверхности

или 3x'²+2y'²+4z'²-1=0.

Заметим, что коэффициенты x'², у'², z'², как и должно было быть, являются соответственно собственными значениями l₁, l₂, l₃.

Таким образом, получили уравнение поверхности 3x'²+2y'²+4z'²=1 или эллипсоид (рис.8).

 

Рис. 8

 

Примерные варианты контрольных работ