Максимально возможная ошибка одного измерения
Необходимо выяснить, как будут влиять ошибки измерения отдельных величин на искомую величину, определяемую при помощи формулы. Разберем этот вопрос в общем виде. Пусть искомая величина W является функцией нескольких (допустим, трех) величин, измеряемых непосредственно в опыте:
Если бы ошибки в измерении величин x,y и z были бесконечно малыми, то ошибка в величине w определялась бы ее полным дифференциалом:
В действительности, ошибки в измерении величин x, y и z не будут бесконечно малыми, однако для расчета величины ошибки можно воспользоваться аналогичной формулой, подставляя вместо dx, dy и dz действительно конечные величины ошибок Δx, Δ; y и Δ; z. Итак, получаем
где Δw – максимально возможная абсолютная ошибка искомой величины w; Δx, Δy и Δ; z – абсолютные ошибки в измерении величины x, y и z. По формуле (51) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются. В действительности при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (51) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку. Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w. Её можно получить, разделив (51) на W, т. е.:
Формула (52) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной зависимости w=f(x,y,z). Для выражения δw в процентах формулу (52) следует умножить на 100. В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев. Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, y и z в различных степенях и постоянной А:
Причем α, β; и γ;могут быть любыми положительными или отрицательными числами. Заметим, что формула (53) охватывает случаи, описанные формулами (49) и (50). Для функциональной зависимости (40) можно получить более конкретное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины. Возьмем производные, входящие в (52)
Подставив в (52) эти значения и значение w по (53), получим
Откуда:
Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте
Окончательно получаем
Эта формула еще больше упрощается, если α, β; и γ; равны единице или единице с минусом. Тогда получим
Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая Разберем другой случай. Пусть:
Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (52) получим
Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (61). Для этого преобразуем каждое слагаемое в (61):
Тогда для функциональной зависимости (60) получим формулу для расчета ошибки:
Вполне естественно, что формулы (52) – (63) могут быть распространены на любое число переменных. Величина относительной ошибки искомой величины в (58), (59) и (63) будет выражена в процентах, если δx, δy и δz подставляются также в процентах. Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин:
Если величины x и у близки друг другу по величине, то вследствие погрешностей этих величин искомое значение w может получиться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо. Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т. е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т. е. ошибка составляет ± 2,22 %, Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной погрешностью:
Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях x и y не так велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая:
Применяя к этому случаю формулу (50), получаем тот же результат:
В таблице 7.1 приведены формулы для расчета максимально возможной относительной ошибки для некоторых функциональных зависимостей. В этой таблице через А, В, С; α, β, γ и l обозначены численные коэффициенты, а через x, y, z и υ; – величины, непосредственно измеряемые в эксперименте; δx, δy, δz и δυ; – относительные ошибки измеряемых величин, а δw – максимально возможная относительная ошибка искомой величины.
|
.
,
.
.
.
.
.
.
Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.
