Й способ вывода уравнения Эйлера

 

Результаты взаимодействия потока с лопаточными аппаратами могут быть получены с помощью теорем о количестве движения и о моменте количества движения.

Выделим в установившемся в относительном движении потоке газа элементарную трубку тока между сечениями 1 и 2 (рис. 3.22).

Согласно теореме об изменении количества движения, если скорость газа, протекающего по какому-либо каналу меняется по величине и направлению, то на стенки канала действует сила Р, равная изменению количества движения в единицу времени:

.

Если газ протекает через вращающееся колесо, то на последнее действует момент, равный разности моментов количества движения входящего и выходящего газа. Чтобы уравновесить этот момент, необходимо на колесо воздействовать равным моментом внешних сил, но в обратном направлении:

Учтем, что плечо r от оси вращения до линии действия силы ,
а (рис. 3.23). Тогда

.

 

 

Рис. 3.22. К выводу уравнения Эйлера согласно теореме об изменении момента количества движения	Рис. 3.23. К определению момента количества движения

 

 

Проинтегрируем полученное выражение, при условии постоянства массового расхода газа между сечениями 1 и 2 ():

.

Теоретический напор

,

.

Таким образом, воспользовавшись теоремой об изменении количества движения, получили тоже выражение (3.26). Этот вывод можно сделать еще короче, если сразу воспользоваться теоремой об изменении момента количества движения. Согласно этой теореме: производная по времени момента количества движения относительно какой-то оси равна результирующему крутящему моменту относительно этой оси.

 

Воспользовавшись соотношениями между сторонами треугольника скоростей (рис. 3.21), можно получить другую запись уравнения Эйлера.

Из треугольника скоростей:

и ,

а т.к. и , то

,

,

.

Выразим отсюда закрутку С_u:

.

Подставим это выражение в уравнение (3.26)

.

Перегруппируем слагаемые

,

. (3.27)

Согласно уравнению (3.27) работа, подводимая к газу в колесе, идет на увеличение кинетической энергии в абсолютном движении (1-е слагаемое), повышение давления за счет центробежных сил (2-е слагаемое), повышение давления за счет торможения в относительном движении (3-е слагаемое).

4. Физические явления при взаимодействии потока с профилем
и решеткой