Дискретный вариационный ряд
Номер интервала
i
| Среднее значение интервала
| Относительная частота
| Выборочная
оценка плотности вероятности
|
| 149,5
| 0,005
| 0,002
|
| 152,5
|
|
|
| 155,5
| 0,025
| 0,008
| Окончание таблицы 7
|
| 158,5
| 0,035
| 0,012
|
| 161,5
| 0,105
| 0,035
|
| 164,5
| 0,19
| 0,063
|
| 167,5
| 0,195
| 0,065
|
| 170,5
| 0,19
| 0,063
|
| 173,5
| 0,105
| 0,035
|
| 176,5
| 0,075
| 0,025
|
| 179,5
| 0,04
| 0,013
|
| 182,5
| 0,015
| 0,005
|
| 185,5
| 0,015
| 0,005
|
| 188,5
| 0,005
| 0,002
|
Рис.1
Рис.2
На основании полученных выборочных данных необходимо сделать предположение, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты полученных в наблюдениях значений, т.е. находят теоретически сколько раз величина Х должна была принять каждое из наблюдавшихся значений, если она распределена по предполагаемому закону. Для этого находят выравнивающие (теоретические) частоты по формуле:
(7)
где n – число испытаний,
- вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.
Эмпирические (полученные из таблицы) и выравнивающие частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных делают заключение о выбранном законе распределения.
Предположим, что случайная величина Х распределена нормально (см. комментарии к задаче № 4). В этом случае выравнивающие частоты находят по формуле:
(8)
где n -число испытаний,
h -длина частичного интервала,
-выборочное среднее квадратичное отклонение,
( - середина i – го частичного интервала)
– функция Лапласа (9)
Результаты вычислений отобразим в таблице №8.
Сравнение графиков (рис.2) наглядно показывает близость выравнивающих частот к наблюдавшимся и подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределён нормально.
Таблица 8
Расчёт выравнивающих частот
|
|
|
|
|
|
| 149,5
152,5
155,5
158,5
161,5
164,5
167,5
170,5
173,5
176,5
179,5
182,5
185,5
188,5
| -19,5
-16,5
-13,5
-10,5
-7,05
-4,05
-1,05
1,95
4,95
7,95
10,95
13,95
16,95
19,95
| -3
-2,53
-2,06
-1,59
-1,11
-0,64
-0,17
0,31
0,78
1,25
1,73
2,2
2,67
3,15
| 0,004
0,02
0,048
0,11
0,22
0,33
0,396
0,38
0,3
0,18
0,09
0,04
0,011
0,003
| 0,42
1,55
4,54
10,68
20,37
31,0
37,48
36,0
28,0
17,34
8,44
3,37
1,06
0,26
|
| 0,05
0,01
0,025
0,055
0,1
0,155
0,185
0,18
0,14
0,085
0,04
0,015
0,005
| 
Интервальный вариационный ряд графически изобразим в виде гистограммы (рис.3). На оси Х отложим интервалы длиной h =3, а на оси Y значения ,расчёт которых представлен в таблице №7. Площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.
Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получать первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.
Рис.3 
3) Найдём числовые характеристики вариационного ряда, используя таблицу №4.
Выборочная средняя ( ):

или , (10)
где - частоты,
а -объём выборки. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания (среднего значения теоретического закона распределения).
В некоторых случаях удобнее рассчитать с помощью условных вариант. В нашем случае варианты - большие числа, поэтому используем разность:
(11)
где С – произвольно выбранное число (ложный нуль). В этом случае
. (12)
Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путём использования масштабного множителя:
, (13)
где (b выбирается положительным или отрицательным числом).
. Здесь С – середина 8-го интервала.
Выборочная дисперсия ( ):
(14)
также может быть рассчитана с помощью условных вариант:
(15)
= (1*441+0*324+…+1*324)- 1,95²=40,21
Среднеквадратическое отклонение:
= (16)
= =6,34
Найдем несмещённую оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения («исправленную» выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение) по формулам:
и (17)
= =40,41 и S = 6,34=6,36
Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95 определяют по формуле:
P( - t Ф(t)= (18)
Из соотношения Ф(z)= /2 вычисляют значение функции Лапласа: Ф(z)=0,475. По таблице значений функции Лапласа (Приложение А) находят z =1,96. Таким образом,
168,55-1,96 ,
167,67< a <169,43.
Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины находят по формуле:
, (19)
где S – несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения;
q – параметр, который находится по таблице (Приложение В) на основе известного объёма выборки n и заданной надёжности оценки .
На основании данных значений =0,95 и n =200 по таблице (Приложение В) можно найти значение q =0,099. Таким образом,
,
5,79 < 
V = (20)
4) Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r =2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. По выборочным данным (таблицы 5 и 7) полученные оценки параметров нормального распределения, вычисленные выше:
, , S =6,36.
Для расчёта теоретических частот используют табличные значения функции Лапласа Ф(z). Алгоритм вычисления состоит в следующем:
- по нормированным значениям случайной величины Z находят значения Ф(z), а затем :
, =0,5+ Ф( ).
Например,
; ; Ф (-3,0) = -0,4987;
;
- далее вычисляют вероятности = P ( ;
- находят числа , и если некоторое <5, то соответствующие группы объединяются с соседними.
Результаты вычисления , , и приведены в таблице 9.
По формуле
= (21)
можно сделать проверку расчетов.

По таблице (приложения Г) можно найти число по схеме: для уровня значимости α;=0,05 и числа степеней свободы l=k-r-1 =9-2-1=6 =12,6. Следовательно, критическая область - (12,6; ). Величина =15,61 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, отвергается.
При α;=0,1 =10,6. Критическая область - (10,6; ). Величина =15,61 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х отвергается.
При α;=0,01 =16,8, (16,8; ). В этом случае нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения.
Таблица 9
Определение 
i
|
|
| Ф ( )
|
|
|
|
|
|
|
149,5
|
| -0,500
| 0,000
| 0,0013
| 0,0013
| 0,26
| -
|
| 149,5
152,5
|
| -0,449
| 0,0013
| 0,0059
| 0,0046
| 0,92
| -
|
| 152,5
155,5
|
| -0,494
| 0,0059
| 0,02
| 0,014
| 2,8
| -
|
| 155,5
158,5
|
| -0,48
| 0,02
| 0,057
| 0,037
| 7,4
| 2,54
|
| 158,5
161,5
|
| -0,44
| 0,057
| 0,134
| 0,077
| 15,4
| 4,58
|
| 161,5
164,5
|
| -0,37
| 0,134
| 0,26
| 0,126
| 25,2
| 0,7
|
| 164,5
167,5
|
| -0,24
| 0,26
| 0,433
| 0,1725
| 34,5
| 0,36
|
| 167,5
170,5
|
| -0,07
| 0,433
| 0,62
| 0,188
| 37,6
| 0,06
|
| 170,5
173,5
|
| 0,12
| 0,62
| 0,78
| 0,16
|
| 1,125
|
| 173,5
176,5
|
| 0,28
| 0,78
| 0,89
| 0,11
|
| 0,045
|
| 176,5
179,5
|
| 0,39
| 0,89
| 0,96
| 0,07
|
| 0,071
|
| 179,5
182,5
|
| 0,46
| 0,96
| 0,99
| 0,03
|
| 6,125
|
| 182,5
185,5
|
| 0,49
| 0,99
| 0,996
| 0,006
| 1,2
| -
|
| 185,5
188,5
|
| 0,496
| 0,996
| 0,999
| 0,003
| 0,6
| -
|
| 188,5
|
| 0,5
| 0,999
| 1,0
| 0,001
| 0,2
| -
| ,0000 
2 часть
1) Данные таблицы 3 сгруппируем в корреляционную таблицу 10.
2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200 экспериментальных точек (рисунок 4).
По расположению точек делаем заключение о том, что экономико-математическую модель можно искать в виде .
3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии.
Для упрощения расчётов разобьём случайные величины на интервалы и выберем средние значения. Для величины Х указанные действия были выполнены в 1 части задания.
Таблица 10
Корреляционная таблица
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y/X
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Продолжение таблицы 10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4
Для случайной величины Y, используя (1), получим h =2, число интервалов равно 13. Результаты внесём в таблицу со сгруппированными данными №11.
Находим средние значения , по формулам:
, (22)
, (23)
, (24)
. (25)



149,5*86+155,5(82+…+90)+…+188,5*104=2986101
Используя формулы:
, (26)
, (27)
получим
= , = 
Таблица 11
Сгруппированные данные выборки
№
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| XY
| 149,5
| 152,5
| 155,5
| 158,5
| 161,5
| 164,5
| 167,5170,5173,5
| 170,5
| 173,5
| 176,5
| 179,5
| 182,5
| 185,5
| 188,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Вычисляем выборочный коэффициент корреляции по формуле:
. (28)
= 
Принято считать, что если 0,1< <0,3 – связь слабая, если 0,3< <0,5 – связь умеренная, если 0,5< <0,7 – связь заметная, если 0,7< <0,9 – связь высокая, если 0,9< <0,99 – связь весьма высокая.
Для данного примера связь между X и Y умеренная.
Затем получают выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в виде:
(29)
и выборочное уравнение линейной регрессии X на Y:
. (30)
и

или

Вычисления сумм рекомендуем проводить с помощью пакетов прикладных математических программ (сегодня их существует много).
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...
|
Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...
|
Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...
|
Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...
|
Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P
1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...
Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...
Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...
|
Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОВОСПИТАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ ПЕДАГОГА Воспитывать сегодня подрастающее поколение на современном уровне требований общества нельзя без постоянного обновления и обогащения своего профессионального педагогического потенциала...
Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...
|
|