Дискретный вариационный ряд
Рис.1
Рис.2
На основании полученных выборочных данных необходимо сделать предположение, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты полученных в наблюдениях значений, т.е. находят теоретически сколько раз величина Х должна была принять каждое из наблюдавшихся значений, если она распределена по предполагаемому закону. Для этого находят выравнивающие (теоретические) частоты по формуле:
где n – число испытаний,
Эмпирические (полученные из таблицы) и выравнивающие частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных делают заключение о выбранном законе распределения. Предположим, что случайная величина Х распределена нормально (см. комментарии к задаче № 4). В этом случае выравнивающие частоты находят по формуле:
где n -число испытаний, h -длина частичного интервала,
Результаты вычислений отобразим в таблице №8. Сравнение графиков (рис.2) наглядно показывает близость выравнивающих частот к наблюдавшимся и подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределён нормально.
Таблица 8 Расчёт выравнивающих частот
Интервальный вариационный ряд графически изобразим в виде гистограммы (рис.3). На оси Х отложим интервалы длиной h =3, а на оси Y значения Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получать первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.
3) Найдём числовые характеристики вариационного ряда, используя таблицу №4. Выборочная средняя (
или где а В некоторых случаях
где С – произвольно выбранное число (ложный нуль). В этом случае
Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путём использования масштабного множителя:
где
Выборочная дисперсия (
Среднеквадратическое отклонение:
Найдем несмещённую оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения («исправленную» выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение) по формулам:
Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью P( Из соотношения Ф(z)= 168,55-1,96 167,67< a <169,43. Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины находят по формуле:
где S – несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения; q – параметр, который находится по таблице (Приложение В) на основе известного объёма выборки n и заданной надёжности оценки На основании данных значений
5,79 < V = 4) Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r =2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. По выборочным данным (таблицы 5 и 7) полученные оценки параметров нормального распределения, вычисленные выше:
Для расчёта теоретических частот - по нормированным значениям случайной величины Z находят значения Ф(z), а затем
Например,
- далее вычисляют вероятности - находят числа Результаты вычисления По формуле
можно сделать проверку расчетов.
По таблице (приложения Г) можно найти число При α;=0,1 При α;=0,01 Таблица 9 Определение
2 часть 1) Данные таблицы 3 сгруппируем в корреляционную таблицу 10. 2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200 экспериментальных точек (рисунок 4). По расположению точек делаем заключение о том, что экономико-математическую модель можно искать в виде 3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии. Для упрощения расчётов разобьём случайные величины на интервалы и выберем средние значения. Для величины Х указанные действия были выполнены в 1 части задания. Таблица 10 Корреляционная таблица
Рис.4 Для случайной величины Y, используя (1), получим h =2, число интервалов равно 13. Результаты внесём в таблицу со сгруппированными данными №11. Находим средние значения
Используя формулы:
получим
Таблица 11 Сгруппированные данные выборки
4) Вычисляем выборочный коэффициент корреляции
Принято считать, что если 0,1< Для данного примера связь между X и Y умеренная. Затем получают выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в виде:
и выборочное уравнение линейной регрессии X на Y:
Вычисления сумм рекомендуем проводить с помощью пакетов прикладных математических программ (сегодня их существует много).
|
(7)
- вероятность наблюдаемого значения 
, вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.
(8)
-выборочное среднее квадратичное отклонение,
(
– функция Лапласа (9)
,расчёт которых представлен в таблице №7. Площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.
):
, (10)
- частоты,
-объём выборки. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания (среднего значения теоретического закона распределения).
(11)
. (12)
, (13)
(b выбирается положительным или отрицательным числом).
. Здесь С – середина 8-го интервала.
):
(14)
(15)
= 
(1*441+0*324+…+1*324)- 1,95²=40,21
= 
(16)
= 
=6,34
и 
(17)
= 
=40,41 и S = 
6,34=6,36
0,95 определяют по формуле:
- t 
Ф(t)= 
(18)
,
, (19)
,
(20)
, 
, S =6,36.
используют табличные значения функции Лапласа Ф(z). Алгоритм вычисления 
:
, 
=0,5+ Ф(
).
; 
; Ф (-3,0) = -0,4987;
;
;
, и если некоторое 
<5, то соответствующие группы объединяются с соседними.
приведены в таблице 9.
(21)
по схеме: для уровня значимости α;=0,05 и числа степеней свободы l=k-r-1 =9-2-1=6 
). Величина 
=15,61 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, отвергается.
)
149,5
,0000 
.
, по формулам:
, (22)
, (23)
, (24)
. (25)
149,5*86+155,5(82+…+90)+…+188,5*104=2986101
, (26)
, (27)
= 
, 
= 
по формуле:
. (28)
(29)
. (30)
и
или
