Уравнивание центральной системы

 

Исходные данные: Х_А и Y_А; Х_В и Y_В.

Измерены все углы в треугольниках.

Необходимо определить координаты пунктов С, D и Е, а также дирекционные углы и длины сторон сети (рисунок 31).

Порядок уравнивания:

1. Подсчитать вид и число условий, возникающих в данной сети:

условий фигур – 4;

Рисунок 31 Центральная система

условие горизонта – 1;

условие полюса – 1.

Всего: 6; r = 6.

2. В каждом треугольнике подсчитывают невязки по формулам:

w₁ = 1 + 2 + g₁ - 180°;

w₂ = 3 + 4 + g₂ - 180°; (188)

w₃ = 5 + 6 + g₃ - 180°;

w₄ = 7 + 8 + g₄ - 180°;

Допустимая невязка определяется по формуле

w_доп = 2,5 × m_b × Ö3; (189)

Невязку в каждом треугольнике распределяют с обратным знаком поровну во все углы, получая первичные поправки V¢:

V₁¢ = V₂¢ = V_g1¢ = - ; V₃¢ = V₄¢ = V_g2¢ = - ;

V₅¢ = V₆¢ = V_g3¢ = - ; V₇¢ = V₈¢ = V_g4¢ = - ; (190)

Введя первичные поправки в измеренные углы, получим первично исправленные углы за условие фигур. Сумма первично исправленных углов в каждом треугольнике должна равняться ровно 180°.

3. Невязку за условие горизонта вычисляют по первично исправленным углам по формуле:

w_Г = g₁ + g₂ + g₃ + g₄ (191)

w_{Г доп} = 2,2 m_b ×Ön, (192)

где n – число углов.

Вторичные поправки за условие горизонта вычисляют:

V_g1¢¢ = V_g2¢¢ = V_g3¢¢ = V_g4¢¢ = - ; (193)

Чтобы не нарушать условия фигур, выполненные введением первичных поправок, надо и в другие два угла каждого треугольника ввести вторичные поправки, которые равны половине вторичной поправки к углам g с обратным знаком с таким расчетом, чтобы сумма вторичных поправок во все три угла в каждом треугольнике равнялась нулю:

V₁¢¢ = V₂¢¢ = - ; V₃¢¢ = V₄¢¢ = - ;

V₅¢¢ = V₆¢¢ = - ; V₇¢¢ = V₈¢¢ = - ;(194)

Введя вторичные поправки в первично исправленные углы, получают вторично исправленные углы за условие горизонта. Сумма вторично исправленных углов в каждом треугольнике должна равняться ровно 180°.

4. Невязка за условие полюса вычисляется по вторично исправленным углам по формуле:

w_П = [ (lg sin1 + lg sin3+ lg sin5 + lg sin7) –

– (lg sin2 + lg sin 4+ lg sin6 + lg sin 8) ] ×10⁶ (195)

или w_П = (å_нечетн - å_четн) × 10⁶ (196)

w _{П доп} = 2,5 m_b (197)

Затем вычисляют коэффициенты b. Это изменение логарифма синуса угла при изменении самого угла на одну секунду в шестом знаке логарифма. Коэффициент b положителен, если угол менее 90° и отрицателен, если угол более 90°.

Для того, чтобы вычислить третьи и окончательные поправки V¢² за условие полюса, сначала надо вычислить коррелату К

К = - (198)

Тогда третьи поправки V¢² будут вычислены по формулам:

V₁¢¢¢ = - V₂¢¢¢ = К (b₁ +b₂); V₅¢¢¢ = - V₆¢¢¢ = К (b₅ +b₆);

V₃¢¢¢ = - V₄¢¢¢ = К (b₃ +b₄); V₇¢¢¢ = - V₈¢¢¢ = К (b₇ +b₈); (199)

Введя третьи поправки во вторично исправленные углы, получим окончательно уравненные углы, сумма которых в каждом треугольнике должна равняться 180°.

5. По окончательно уравненным углам вычисляют длины сторон сети по теореме синусов. Так, в первом треугольнике вычисляют S_АВ и S_ВС .

Длину исходной стороны S_АВ вычисляют из решения обратной геодезической задачи по формуле:

S_АВ = Ö (Х_В – Х_А)² + (Y_В – Y_А)² (200)

; тогда S_ВС = q sing₁; а S_АС = q sin1. (201)

Во втором треугольнике за исходную сторону принимают вычисленную длину стороны S_АС из первого треугольника

; тогда S_DС = q sing₂; а S_АD = q sin3 и так далее. (202)

Контролем правильности вычисления длин сторон будет служить равенство вычисленной стороны S_АВ в четвертом треугольнике и значения этой стороны, вычисленной из решения обратной геодезической задачи.

6. Вычисление координат пунктов сети выполняют решением прямых геодезических задач. Например:

Х_С = Х_А + S_АС ×соsa_АС; Y_С = Y_А + S_АС sina_АС; (203)

Для этого из решения обратной геодезической задачи вычисляют исходный угол исходной стороны a_АВ

tg a_АВ = (204)

Тогда a_АС = a_АВ + Ð g₁ (уравненный угол)

Вычислив координаты пункта С, вычисляют координаты пункта D.

Х_D = Х_C + S_{С D} соsa_СD; Y_D = Y_C + S_СD sina_СD; (205)

a_СD = a_АC ± 180° - 3. (206)

Контролем правильности вычисления координаты будет служить равенство вычисленных координат пунктов А и В и их исходных данных.

7. Производится оценка точности по уравненным углам

m_b = ; (207)

где V – суммарная поправка в угол

V_i = V_i¢ + V_i¢¢+ V_i¢¢¢ (208)

r – число всех условий, возникающих в данной сети.

 

10.2 Уравнивание геодезического четырехугольника

 

Исходные данные: Х_В и Y_В; Х_D и Y_D.

В геодезическом четырехугольнике измерены восемь углов на четырех точках (рисунок 32). Углы нумеруются цифрами 1-8 по ходу часовой стрелки. Необходимо определить координаты пунктов А и С, а также дирекционные углы и длины сторон.

Порядок уравнивания:

Рисунок 32 Геодезический четырехугольник

1. В геодезическом четырехугольнике возникают следующие условия:

- сумма всех восьми углов в четырехугольнике должна быть равна 360°;

- геодезический четырехугольник рассматривается как центральная система с фиктивным полюсом – точкой О пересечения диагоналей;

- в фиктивных треугольниках АВО, DОС, ВСО и АОD должны существовать следующие условия суммы углов: 1+2 = 5+6; 3+4 = 7+8;

- все измеренные углы можно рассматривать как связующие углы треугольников центральной системы, следовательно, возникает полюсное условие.

условий фигур – 3;

условие полюса – 1.

Всего: 4; r = 4.

2. Невязки за условия фигур вычисляются по формулам:

w₁ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 - 360°;

w₂ = 1 + 2 – 5 – 6; (209)

w₃ = 3 + 4 – 7 – 8;

Допустимая невязка w_доп = 2,5 m_b Ön; (210)

Первичные поправки V¢ вычисляем по формулам:

V₁¢ = V₂¢ = - ; V₃¢ = V₄¢ = - ;

V₅¢ = V₆¢ = - ; V₇¢ = V₈¢ = - ; (211)

Вычисление поправок контролируется: их сумма в четырехугольнике должна равняться невязке с обратным знаком.

3.За полюс принята точка пересечения диагоналей. Тогда условное уравнение полюса, как и в центральной системе, можно выразить формулой:

w_П = [ (lg sin1 + lg sin3+ lg sin5 + lg sin7) –

– (lg sin2 + lg sin4+ lg sin6 + lg sin8) ] 10⁶ (212)

или w_П = (å_нечетн - å_четн) × 10⁶ (213)

w _{П доп} = 2,5 m_b (214)

где b - это изменение логарифма синуса угла при изменении самого угла на одну секунду в шестом знаке логарифма.

Для вычисления вторичных поправок за условие полюса определяем коррелату К

К = - (215)

Тогда V₁¢¢ = - V₂¢¢ = К (b₁ +b₂); V₃¢¢ = - V₄¢¢ = К (b₃ +b₄);

V₅¢¢ = - V₆¢¢ = К (b₅ +b₆); V₇¢¢ = - V₈¢¢ = К (b₇ +b₈); (216)

Введением вторичных поправок заканчивается процесс уравнивания горизонтальных углов. После чего решением треугольников находят стороны, вычисляют дирекционные углы и приращения координат. Полученные невязки приращений распределяют пропорционально длинам сторон и вычисляют окончательные координаты пунктов.

 

Контрольные вопросы

 

1. В какой последовательности производится уравнивание центральной системы?

2. Напишите формулу определения невязки за условие фигур.

3. По какой формуле определяется допустимая невязка за условие фигур?

4. Напишите формулу определения невязки за условие горизонта.

5. Как распределяются вторичные поправки за условие горизонта?

6. Какие условия возникают в геодезическом четырехугольнике?