Диференціальні форми на допустимих множинах

Нехай М — множина в .

За допомогою операції над формами в точці очевидним чином визначаємо додавання і добуток диференціальних форм на множині М:

При такому означенні диференціальні р-форми на М створюють векторний простір.

Якщо кожній точці х М ми поставимо у відповідність диференціальну р-форму

то ми отримаємо деяку визначену диференціальну форму на множині М, яку ми знову будемо позначати символом . Всяку диференціальну форму порядку р можна единим чином записати в канонічному вигляді

де —деякі дійсні функції, визначені на множині М. Тому розумно слідуюче

Означення 4.2. Диференціальна р-форма на множині М називається неперервною в точці х М, якщо коефіцієнти форми , записаної в канонічному вигляді, неперервні в точці х₀. Якщо множина М допустима, то форма називається диференційованою (відповідно неперервно диференційованою, n раз неперервно диференційованою, незкінченно диференційованою), якщо цією властивістю володіють функції .

На векторних просторах диференційовних р-форм вводять диференціальний оператор, що являє собою узагальнення поняття повного диференціала функції. Нагадаємо спочатку це останє поняття.

Якщо функція f диференційована в точці х₀ і , то умова

визначає деяку пфаффову форму — повний диференціал функції . Справедливе правило Лейбніца

Ось канонічний вигляд форми :

Якщо функція диференційована в кожній точці множини М, то являється диференціальною 1-формою на множині М. Тепер ми дамо

Означення 4.3. Нехай

— деяка р-форма, визначена на допустимій множині М і диференційована в точці х₀ М. Під зовнішнім диференціалом форми в точці х₀ розуміють диференціальну форму порядку р+1

визначену в точці х₀.

Форму називають також зовнішньою похідною форми . По більшій мірі ми будемо писати скорочено: . Таким чином,

Якщо форма диференційована на всій множині М, то відповідність є визначеною на множині М (р+1)-формою . Очевидно, являється R-лінійним оператором:

Теорема 4.1. Якщо і — диференціальні форми відповідно поряду р і q, визначені на допустимій множині М і диференційовані в точці х₀ М, то

Теорема 4.2 Нехай f – функція, диференційована на компактному кубі М з ребрами, паралельними осям координат, і двічі диференційована в точці х₀ М. Тоді в точці х₀.

Теорема 4.3. Нехай - диференціальна форма, диференційована на компактному кубі М з ребрами, паралельними осям координат, і двічі диференційована в точці х₀ М, то в цій точці .

Введемо слідуючу термінологію:

Означення 4.4. Диференційована (в точці х₀) диференціальна форма називається замкнутою (в точці х₀), якщо =0 (відповідно ). Диференційовна форма називається точною (в точці х₀), якщо існує диференційована (в точці х₀) диференціальна форма , для якої (відповідно ).

Із теореми 4.3 випливає

Теорема 4.4. Якщо диференціальна форма на відкритій множині М являється точною, то вона замкнута.

На закінчення розглянемо ще поведінку диференціальних форм і зовнішнього диференціала при диференційованих відображеннях. Нехай М — допустима множина в і —довільна множина. Нехай, далі, диференційовне відображення. Якщо відображення задається функціями і

- деяка диференціальна форма порядку р на множині , то умова

(де у= (х))

визначає на множині М диференціальну р-форму , яка може бути записана у вигляді

.

Якщо відображення F нескінченно диференційоване і множина N допустима, то форма володіє тими ж властивостями диференційованості, що і форма . Має місце

Теорема 4.5. Нехай форма диференційована в точці (множина N повинна бути допустимою), і нехай відображення Р двічі диференційоване в точці х₀, для якої .Нехай, крім того, існує такий компактний куб U з ребрами, паралельними осям координат, що х₀. Тоді