Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Зовнішні диференціальні форми




Перш за все введемо поняття дотичного простору. Нехай . Позначимо через множину всіх функцій f,визначених в деякому (залежному від f) околі U точки і неперервних в точці . А через множину тих функцій , які, крім того, диференційовані в точці . В просторах і визначені слідуючі операції: додавання, добутку і добутку на дійсне число. Із , і випливає, що . Дотичним вектором в точці називається лінійне відображення , що володіє слідуючими додатковими властивостями:

а)

б) якщо , і , то ;

в) при .

Дотичні вектори в точці утворюють n-вимірний векторний простір , який утворюється частинними похідними , v=1,…,n. При цьому - це дотичний вектор, що визначається умовою . Простір називається дотичним простором в точці .

Означення 2.1. Зовнішні р-лінійні форми в дотичному просторі називаються (зовнішніми) диференціальними формами порядку р в точці (або, короче, зовнішніми р-формами).

Е1 = є векторним простором пфаффовых форм в точці х0. Цей простір створюється формами , де

Форми утворюють базис, спряжений з базисом- , v=1,…,n простору .

Виходячи з базиса { } простору Е1, ми побудуємо деякі базиси спеціального вигляду в просторах Ер і підрахуємо розмірність цих просторів.

Твердження 1. а) При р>n кожна диференціальна р-форма рівна нулю.

б) Якщо зовнішня р-форма приймає нульові значення на всіх р-наборах виду

, де то

Твердження 2. Мають місце рівності

0, якщо ,

+1, якщо отримується з за допомогою парного числа транспозицій,

-1, якщо це число транспозицій непарне.

Теорема 2.1. Для кожного р 0 розмірність ; р-форми спеціального виду

, де

при р 1 створює базис простору . Тому кожну форму можна єдиним чином записати у вигляді

.

Твердження 3. Має місце рівність .

Теорема 2.2. Якщо і , то

Цей так називаючий знакозмінний закон замінює звичайний комутативний закон.


Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой





Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 247. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.016 сек.) русская версия | украинская версия
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7