Зовнішні диференціальні форми

Перш за все введемо поняття дотичного простору. Нехай . Позначимо через множину всіх функцій f,визначених в деякому (залежному від f) околі U точки і неперервних в точці . А через множину тих функцій , які, крім того, диференційовані в точці . В просторах і визначені слідуючі операції: додавання, добутку і добутку на дійсне число. Із , і випливає, що . Дотичним вектором в точці називається лінійне відображення , що володіє слідуючими додатковими властивостями:

а)

б) якщо , і , то ;

в) при .

Дотичні вектори в точці утворюють n-вимірний векторний простір , який утворюється частинними похідними , v= 1 ,…,n. При цьому - це дотичний вектор, що визначається умовою . Простір називається дотичним простором в точці .

Означення 2.1. Зовнішні р-лінійні форми в дотичному просторі називаються (зовнішніми) диференціальними формами порядку р в точці (або, короче, зовнішніми р-формами).

Е¹ = є векторним простором пфаффовых форм в точці х₀. Цей простір створюється формами , де

Форми утворюють базис, спряжений з базисом- , v=1,…,n простору .

Виходячи з базиса { } простору Е¹, ми побудуємо деякі базиси спеціального вигляду в просторах Е^р і підрахуємо розмірність цих просторів.

Твердження 1. а) При р>n кожна диференціальна р-форма рівна нулю.

б) Якщо зовнішня р-форма приймає нульові значення на всіх р-наборах виду

, де то

Твердження 2. Мають місце рівності

0, якщо ,

+1, якщо отримується з за допомогою парного числа транспозицій,

-1, якщо це число транспозицій непарне.

Теорема 2.1. Для кожного р 0 розмірність ; р-форми спеціального виду

, де

при р 1 створює базис простору . Тому кожну форму можна єдиним чином записати у вигляді

.

Твердження 3. Має місце рівність .

Теорема 2.2. Якщо і , то

Цей так називаючий знакозмінний закон замінює звичайний комутативний закон.