Наочний сенс ротора

Рух рідини або газу можна відстежувати спостерігаючи за переміщенням маленьких легких предметів, що знаходяться в потоці. Так, наприклад, характер течії річки можна вивчити, спостерігаючи як пливе по річці листя. При цьому неважко буде помітити, що багато листя не тільки пливуть за течією, але і повертаються, що викликано нерівномірністю течії.

Наочний образ ротора дає маленька легка кулька, яка закручується в потоці рідини або газу з неоднорідним полем швидкостей. Напрямок ротора відповідає осі обертання кульки, а модуль ротора пропорційній кутовій швидкості. Сказане можна проілюструвати простим, але важливим прикладом. Розглянемо плоский диск, що обертається навколо осі з деякою кутовою швидкістю . Нехай вісь обертання співпадає з віссю Оz. Кожна точка рухається по колу, її швидкість направлена по дотичній до окружності, тобто перпендикулярно радіус-вектору точки. Оскільки зв'язок між лінійню і кутовою швидкістю визначається формулою , величина швидкості буде пропорційна віддаленню точки від осі обертання,тобто довжині радіус-вектора (див. рис.5.).

Рис.5. Поле швидкостей з постійним ротором

Оскільки вектор швидкості перпендикулярний осі орту осі Oz (вектору ) і радіус-вектору точки (), він лише числовим коефіцієнтом відрізняється від їх векторного добутку. Довжина векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах, в даному випадку площі прямокутника, тобто добутку довжин цих векторів:

, ,

де знак визначається орієнтацією трійки векторів , і . Неважко переконатися, що у випадку, коли обертання виконується проти годинникової стрілки, маємо:

Знайдемо ротор вектора поля:

Таким чином, у всіх точках ротор є однаковим і дорівнює подвоєній кутовій швидкості. Напрямок ротора співпадає з віссю обертання. Якщо змінити напрямок обертання, то ротор поміняє напрямок на протилежний.

Розглянемо ще один простий приклад - неоднорідну одновимірну течія рідини. Нехай у всіх точках середовища напрямок швидкості збігається з напрямком осі Ох, а величина швидкості зростає пропорційно ординаті точки (див. рис.6.):

Рис.6. Неоднорідна одномірна течіям

.

Знайдемо ротор поля швидкостей:

Ротор у всіх точках приймає однакове значення. Ротор спрямований перпендикулярно течії і перпендикулярно напрямку найбільшого перепаду швидкостей (градієнту). Напрямок ротора протилежний напряму осі Oz, що вказує на очевидний факт, що тіло, що потрапило в цей потік, буде закручуватися за годинниковою стрілкою, тобто в від’ємному напрямку.