Студопедия — Векторний і координатний запис формули Стокса
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Векторний і координатний запис формули Стокса






Нехай замкнена кусково-гладка крива Г являється межею кусково-гладкої поверхні S. Нехай поверхня S міститься в деякій трьохмірній області G R3, у всіх точках якої визначені і неперервні функції трьох змінних P, Q, R, а також їх частинні похідні. Тоді криволінійний інтеграл другого роду по кривій Г пов’язаний з поверхневим інтегралом другого роду по поверхні S формулою Стокса:

при чому напрямок контуру Г (в криволінійному інтегралі) і вибір додатного напрямку нормалі (в поверхневому інтегралі) узгоджені за «правилом буравчика» - додатною рахується та сторона поверхні, на якій додатній напрямок контуру відповідає руху проти часової стрілки (див мал.1).

Рис.1. Узгодження орієнтації в формулі Стокса

Не важко побачити, що у випадку, коли крива Г лежить в площині xOy, формула Стокса переходить в відому формулу Гріна, яка зв’язує криволінійний інтеграл першого роду по плоскій кривій з подвійним інтегралом по області, обмеженій даною кривою (див. рис.2).

Рис.2. Обхід границі області в формулі Гріна

Загальний випадок формули Стокса формально виходить з формули Гріна циклічною перестановкою координат:

x→y→z→x, P→Q→R→P

Нехай - одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні S. Тоді

де і - кути, які утворює цей вектор з координатними осями (косинуси цих кутів називають «направляючими косинусами»).

Рис.3. Направляючі косинуси нормалі

 

Оскільки зв'язок між поверхневими інтегралами першого і другого роду задається формулою

,

Формулу Стокса можна переписати у вигляді (рис.3.):

 

При знаходженні визначника третього порядку під «множенням» знака диференціювання (наприклад, ) на функцію підрозумовується знаходження відповідної частинної похідної.

Розглянемо вектор , координатами якого є величини P, Q, і R:

.

Не важко побачити, що під знаком поверхневого інтеграла першого роду стоїть скалярний добуток вектора на вектор

,

який називається ротором вектора (позначається rot ). Якщо ввести формальний вектор «набла» рівністю

,

то ротор можна формально представити, як векторний добуток вектора «набла» на вектор F:

.

Позначимо радіус-вектор довільної точки простору . Відомо, що координати радіус-вектора є координатами точки, на яку він вказує:

.

Введемо вектор елементарного переміщення

,

тоді формулу Стокса можна записати у векторній формі:

Криволінійний інтеграл по замкнутому контуру називається циркуляцією векторного поля, поверхневий інтеграл другого роду означає потік через поверхню. Отже, формула Стокса, допускає наступне словесне формулювання:

циркуляція векторного поля по замкнутому контуру дорівнює потоку його ротора через поверхню, що стягується цим контуром.







Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 407. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...

ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ИНЪЕКЦИЙ К лекарственным формам для инъекций относятся водные, спиртовые и масляные растворы, суспензии, эмульсии, ново­галеновые препараты, жидкие органопрепараты и жидкие экс­тракты, а также порошки и таблетки для имплантации...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия