Векторний і координатний запис формули Стокса

Нехай замкнена кусково-гладка крива Г являється межею кусково-гладкої поверхні S. Нехай поверхня S міститься в деякій трьохмірній області G R³, у всіх точках якої визначені і неперервні функції трьох змінних P, Q, R, а також їх частинні похідні. Тоді криволінійний інтеграл другого роду по кривій Г пов’язаний з поверхневим інтегралом другого роду по поверхні S формулою Стокса:

при чому напрямок контуру Г (в криволінійному інтегралі) і вибір додатного напрямку нормалі (в поверхневому інтегралі) узгоджені за «правилом буравчика» - додатною рахується та сторона поверхні, на якій додатній напрямок контуру відповідає руху проти часової стрілки (див мал.1).

Рис.1. Узгодження орієнтації в формулі Стокса

Не важко побачити, що у випадку, коли крива Г лежить в площині xOy, формула Стокса переходить в відому формулу Гріна, яка зв’язує криволінійний інтеграл першого роду по плоскій кривій з подвійним інтегралом по області, обмеженій даною кривою (див. рис.2).

Рис.2. Обхід границі області в формулі Гріна

Загальний випадок формули Стокса формально виходить з формули Гріна циклічною перестановкою координат:

x→y→z→x, P→Q→R→P

Нехай - одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні S. Тоді

де і - кути, які утворює цей вектор з координатними осями (косинуси цих кутів називають «направляючими косинусами»).

Рис.3. Направляючі косинуси нормалі

 

Оскільки зв'язок між поверхневими інтегралами першого і другого роду задається формулою

,

Формулу Стокса можна переписати у вигляді (рис.3.):

 

При знаходженні визначника третього порядку під «множенням» знака диференціювання (наприклад, ) на функцію підрозумовується знаходження відповідної частинної похідної.

Розглянемо вектор , координатами якого є величини P, Q, і R:

.

Не важко побачити, що під знаком поверхневого інтеграла першого роду стоїть скалярний добуток вектора на вектор

,

який називається ротором вектора (позначається rot ). Якщо ввести формальний вектор «набла» рівністю

,

то ротор можна формально представити, як векторний добуток вектора «набла» на вектор F:

.

Позначимо радіус-вектор довільної точки простору . Відомо, що координати радіус-вектора є координатами точки, на яку він вказує:

.

Введемо вектор елементарного переміщення

,

тоді формулу Стокса можна записати у векторній формі:

Криволінійний інтеграл по замкнутому контуру називається циркуляцією векторного поля, поверхневий інтеграл другого роду означає потік через поверхню. Отже, формула Стокса, допускає наступне словесне формулювання:

циркуляція векторного поля по замкнутому контуру дорівнює потоку його ротора через поверхню, що стягується цим контуром.