VII. АНАЛИЗ СРЕДСТВ. ДВОЙНОЙ АНАЛИЗ ПРИМЕНЕННЫХ ЗНАКОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ. ФОРМИРОВАНИЕ ЗАДАННЫХ СРЕДСТВ И ИЗМЕНЕНИЕ ХАРАКТЕРА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Следующий шаг на пути формирования способа решения — рефлективное рассмотрение ранее решенных задач на предмет установления тождества применяемых средств и процедур. (Такой шаг не представляет собой задачи в принятом математическом значении этого слова.)

В предыдущей работе учениками было решено в среднем 7—10 задач. Из числа этих задач можно отобрать три задачи, руководствуясь тем соображением, чтобы они имели разное предметное содержание — площадь, движение, работу. Пусть такими задачами будут уже разобранная нами задача № 410 и задачи № 784 и 785. На классную

 

­ Конец страницы 400 ­

¯ Начало страницы 401 ¯

доску и в тетради учеников переносятся: условия этих задач, применявшаяся при их решении особая знаковая форма — изображения прямоугольников — и получившиеся в итоге решения уравнения. Строится следующая запись, служащая средством выражения материала для последующих сопоставлений.

Вся работа в дальнейшем идет на сопоставлении этих изображений между собой и с условиями.

В наших обучающих экспериментах (восьмые классы, две группы отстающих учеников седьмых классов, школа № 715, 1964/65 учебный год) такая работа велась следующим образом. Учитель, стоя у доски, задавал вопросы, на которые учащиеся отвечали. Такая форма построения процесса обучения очень импонировала учащимся и вызывала их большую активность.

Первый вопрос: почему мы имеем в наших случаях всегда два изображения, т. е. два прямоугольника? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сопоставить изображения для каждой задачи с ее условиями. В ходе этого соотнесения формы с условиями выясняется, что в условиях всегда заданы две ситуации {мы разбираем простейший случай, несколько ниже будет показано, что более сложные случаи сводимы к различным комбинациям сопоставления двух ситуаций — два по два, двойное сопоставление разных ситуаций с какой-то одной и т. д.). Каждый раз они задаются в разном описании: так, в задаче № 410 имеется один прямоугольник, потом было произведено некоторое преобразование и получился второй прямоугольник; в задаче № 784 первая ситуация должна была сложиться по плану, но реально имела место вторая ситуация; в задаче № 785 в одном случае мы имеем движение связного в город, другой случай образует его движение из города и т. д.

Интересные данные мы получили в результате анкетирования, которое проводилось нами после обучающего эксперимента совместно с методистом В. И. Крупичем. В анкетах был такой вопрос: удобны ли изображения прямоугольников для решения задач или лучше обойтись без них? Очень большое число ответов, кроме двух, было положительным; причем учащиеся подчеркивали, что они «видят» (их термин), какая эта задача и как ее решать.

Второй вопрос: как же построены эти изображения, каждое из которых фиксирует некоторую конкретную ситуа-

­ Конец страницы 401 ­

¯ Начало страницы 402 ¯

цию? В случае задачи № 410 по вертикали откладывалась ширина, а по горизонтали — длина. В центре изображения записывалась численная величина площади. В задаче № 784 по вертикали откладывалась мощность (производительность в день), а по горизонтали — время работы. В центре изображения — величина работы. В задаче № 785 по вертикали откладывалась скорость, по горизонтали — время, в центре — путь. Выпишем рядом с изображениями формулы соответствующих зависимостей—

 

S (площадь прямоугольника) = ti (ширина) х t₂ (длина) А (работа) = N (мощность) xt (время), (путь) = v (скорость) х t (время).

 

Сопоставляя эти формулы, приходим к выводу: во-первых, в них связываются три величины (как мы теперь будем говорить ученикам, величины параметров); во-вторых, если обозначить эти параметры буквами А, В, С, то их зависимость задается формулой АВ = С, в-третьих, применительно к изображению параметры А и В выражаются через стороны прямоугольника, а параметр С — как его площадь.

Соотнеся полученные результаты с условиями, получаем следующее положение: каждая ситуация условий задается тремя параметрами, связанными между собой зависимостью ттипа АВ = С.

Третий вопрос. До этого момента рассматривались и сопоставлялись отдельные изображения, но они всегда даны нам в паре. За счет чего это происходит? Последовательно сопоставляя изображения каждой пары, получаем представление о том, что одноименные параметры поставлены между собой в некоторое отношение. (Возможен случай соотношения разноименных параметров, например: скорость одного тела численно в три раза больше времени, затраченного при движении другим телом. Такие случаи несколько искусственны, к тому же они в общей типовой характеристике меняют только последнее условие — об одноименности параметров). Для задачи № 410 «ширину прямоугольника увеличили на 3 м» и «площадь увеличилась на 24 кв. м». В задаче № 785 — соотношение по времени и равенство пути. В общем, как показало исследование, возможны три типа соотношений величины параметров, которые математически можно выразить так: ka₁ = а₂, a₁+а₂ = k и а₁ = а₂, где a₁ и а₂ — значения одно-

­ Конец страницы 402 ­

¯ Начало страницы 403 ¯

именных параметров и k — некоторая произвольная постоян-нная.

Итог трех проведенных сопоставлений суммируется в правило по применению отработанных процедур: в задаче должны быть выделены две ситуации, каждая из которых описывается через связь трех параметров по соотношению АВ = С, а одноименные параметры ситуации поставлены в отношение друг с другом.

Итак, если в начале нашей работы это правило вводилось нами как внешнее средство, определяющее возможность построения процедур решения, то теперь это средство нами построено, т. е. выполнено одно из требований к формированию осознанного способа решения.

Изображения из нашей схемы (стр. 389) используются и для построения уравнений. Принимая численную величину одного из одноименных параметров за X, мы на основе имеющегося соотношения выражаем через X и известную величину — другое значение того же параметра. Переходя ко второму параметру, мы либо имеем его численные значения, как в задачах № 784 и 785, либо выражаем их через уже введенные значения, основываясь на указанном в условии соотношении (задача № 410). В соотношении АВ = С значения двух величин вполне определяют значение третьей, и, следовательно, мы выражаем значение третьего параметра через значения первых двух для обоих случаев. При построении изображения (на основе условий задачи) зависимость по величине фактически в схеме оказывается уже выделенной и построенной: мы получаем итоговое уравнение.

Конечным продуктом этого анализа будет представление о процедурах решения как о последовательности действий, включающей в себя выражение через неизвестное и известные величины первого параметра, выражение величин второго параметра, выражение третьего параметра через первые два и составление уравнения по третьему параметру через привлечение соотношения его величин по данным условиям. Выше было указано, что такое представление — второе необходимое средство в способе решения задач подобного типа.

После того как сложился такой развернутый способ деятельности, потребность в изображениях (рисовании прямоугольников) исчезает; они выполнили свою функцию строительных лесов. Теперь решение задачи идет по описан-

­ Конец страницы 403 ­

¯ Начало страницы 404 ¯

ной вначале норме. С психологической точки зрения можно утверждать, что способ решения по этой норме будет осознанным, так как в ее построении была задана особая связь трех необходимых компонентов: поставленной ззадачи, конкретного условия и последующего построения порядка действий. С точки зрения логики мы сформировали способ решения, так как в процессе проделанной работы учащиеся овладевают всеми тремя составляющими способами решения: средствами определения типа, средствами перехода, а третья группа — средства движения по оперативной системе — ими была отработана в другой деятельности.