VI. НЕДОСТАТОЧНОСТЬ СТАРЫХ СРЕДСТВ, СИТУАЦИЯ РАЗРЫВА. ВВЕДЕНИЕ НОВОГО СРЕДСТВА И ПРИМЕНЕНИЕ ЕГО В НОВЫХ ПРЕДМЕТНЫХ ОБЛАСТЯХПопытаемся при помощи ранее описанных средств решать задачу № 110 для VI класса [6]: «Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Когда ширину прямоугольника увеличили на 3 м, то площадь ег увеличилась на 24 кв. м. Определить первоначальную длину и ширину прямоугольника». Если мы на основе сложившегося представления об изоморфизме начнем непосредственно переводить текст, точнее, его части в алгебраические выражения, то в итоге мы не сможем получить уравнения. Этот перевод в чистом виде не удается в ряде моментов, например при обозначении площадей, и не будут «вязаться» между собой отдельные части текста. Оказывается, что это средство не срабатывает при решении данной задачи. Аналогично не дает результат и применение двух других средств. Выражение одного параметра по двум другим известным ранее соотносилось с ситуацией, где, кроме них, ничего другого не было и всегда были известны значения двух параметров; в этой же задаче не дано ни одного значения. Площади двух прямоугольников связаны отношением целого и части через величину их разницы — 24 кв. м, но значения этих площадей не даны. Представление о целом и части оказывается недостаточным для решения: как уже было показано выше, оно является средством для решения простых задач только совместно с представлением об изоморфизме. Складывается ситуация, известная под названием ситуации разрыва. Учащиеся понимают и принимают предложенную задачу — вычислить значение первоначальной длины и ширины прямоугольника; они решали многократно задачи на вычисление какого-либо параметра, это для них не ново. В то же время арсенала имеющихся у них средств недостаточно для ее решения. Необходимо вводить либо принципиально новые средства, ничего общего со старыми средствами не имеющими, либо вводить новое средство, как некоторую комбинацию старых с некоторой добавкой, задающую новизну. Применительно к нашему случаю это будет второй путь. Конец страницы 393 ¯ Начало страницы 394 ¯ Прежде чем задавать новое средство, педагогически важно дать понять, что старыми средствами задача не может быть решена. Действительно, экспериментируя с учащимися, порой встречаешься с совершенно бессмысленными, на первый взгляд, ответами. Так, в нашем эксперименте с учащимися 6 класса предлагалась разбираемая задача № 410. Экспериментатор ограничивался наблюдением хода решения и иногда задавал вопросы. Приведу одну характерную для слабого ученика запись выражения: X х 2Х + 3 = 24. В ходе дальнейших вопросов учащийся сам отвергает им написанное. Но составить уравнение самостоятельно не может. Такая запись и ход решения характерны с рядом вариаций — они для нас несущественны сейчас — для многих слабых учащихся. В чем дело? Попав в ситуацию разрыва, такие учащиеся продолжают применять старое, известное им средство — в данном случае представление об изоморфизме. Для них первых шаг в продвижении вперед — понять, что в этих случаях и в таком виде оно неприменимо. Очень интересно отметить весьма характерную реакцию у сильных учащихся, их ответ: «Мы такие задачи не решали». И это весьма симптоматично. Разница в деяте-лльности — применение известного средства у слабых учащихся и отказ от их использования у сильных — позволяет нам еще раз охарактеризовать введенное по схеме представление о способе и акцентировать необходимость различить средства перехода к выражениям оперативной системы на две группы — средства определения типа и собственно средства перехода. И у сильных и у слабых учащихся имеются умения по использованию средств оперативной системы (решение уравнения) и собственно средств перехода (представление об изоморфизме, соотношение целого и части). Однако, мы утверждаем, у сильных учащихся сформирован способ решения задач, предшествующих разбираемому нами типу, а у слабых нет, следовательно, первые владеют способом решения, а вторые нет. Здесь хорошо видна обязательность характеристики способа решения задач через три составляющие. Отметим также, что мы имеем отличную от ранее рассматриваемых нами процедуру проверки наличия способа решения задач. Она состоит в предложении ученику задачи, нерешаемой данным способом. Попытки ее решения старыми средствами будут говорить о том, что способ Конец страницы 394 ¯ Начало страницы 395 ¯ решения не сформирован, а имеется лишь механическое воспроизведение некогда заданного образца решения. При наличии способа решения последует указание, что она им не решается — у учащихся такой ответ может принять форму: «Мы не знаем, как решать такие задачи». Новое средство, позволяющее решить эту задачу (с попутным синтезом старых средств)— применение графических изображений, двух прямоугольников. Они выступают в очень интересной функции. Зарисовка этих прямоугольников использует знание о зависимостях, математически выражаемых общей формулой АВ = С. В изображении связи прямоугольников используется представление о соотнесении части и целого. В этом смысле мы и говорили о синтезе всех предшествующих средств. После того как эти прямоугольники построены, оказывается, что можно установить связь изоморфизма уже между ними и конечным уравнением. Абстрактно такую двойную связь изоморфизма можно представить следующей схемой:
Проследим шаг за шагом, как это происходит на решении задачи № 410. При этом удобно снова воспользоваться черточками для разделения условия задачи на части: «Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Когда ширину прямоугольника увеличили на 3 м, то д площадь его увеличилась на 24 кв. м. Определить первоначальную длину и ширину прямоугольника. ____________ 1 На ином материале аналогичные идеи проводились В. А. Лефевром и В. И. Дубовской [7]. Конец страницы 395 ¯ Начало страницы 396 ¯ Построение изображений:
1) «Длина прямоугольника больше его ширины» 2) «Когда ширину прямоугольника увеличили на 3 м»,
поскольку относительно длины ничего не сказано, то предполагается, что она осталась той же самой. В этом шаге появляется изображение второго прямоугольника «... то площадь его увеличилась на 24 кв. м»;
На этом пункте построение изображения окончилось. Покажем, что используя это изображение как средство, мы опять можем опираться на представление об изоморфизме, но уже не частей текста и конечного уравнения, а данного изображения и конечного уравнения. Введя в изображение обозначения параметров, мы получим искомое уравнение, опираясь при этом на представление о связи трех параметров через соотношение АВ = С, Ширина первого прямоугольника X Длина первого прямоугольника вдвое больше ширины 2Х Длина второго прямоугольника осталась Конец страницы 396 ¯ Начало страницы 397 ¯ прежней 2Х Ширина второго прямоугольника увеличилась на 3 м X + 3 Подставляем эти выражения в изображение
и, поскольку площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, имеем:
Искомое уравнение: 2Х 2 + 24 = 2Х (X + 3). Отметим тот очевидный факт, что применение изоб-рражения прямоугольников как средства для решения задач не имеет ничего общего с так называемой наглядностью. Как показали наши опыты, данный способ решения берется почти всеми учащимися VI класса. Трудности возникали там, где слабые ученики не представляли себе формулу площади прямоугольника либо даже не могли его начертить 1. В проводившемся нами эксперименте показано, что отработка такого пути решения вполне возможна на примере всего, лишь двух задач. Следующий шаг — применение отработанных процедур с построением точно таких же изображений на задачи с иным конкретным предметным ___________ 1 Нас справедливо могут упрекнуть, что при таком употреблении изображений можно решать только такие задачи, где значения площади (соответственно, расстояния, работы и т. д.) неизвестны. Одно небольшое изменение в изображениях снимает эту трудность. Конец страницы 397 ¯ Начало страницы 398 ¯ содержанием. Так, например, можно взять уже приводившуюся задачу № 1199. Здесь требуется добавочное пояснение. По вертикали и горизонтали мы будем откладывать время и мощность, а в центре прямоугольника писать значения для работы. Строя процедуры, аналогичные предшествующей задаче, мы получим такое изображение:
используя которое мы изоморфно переходим от этого изображения к соотвествующему уравнению:
т.е. 10X4+54-7 (Х+27) _________________
В данном случае сравниваются не площади, а линии, выделенные стрелками. Мы специально не останавливаемся на разборе этого случая, лишь укажем, что в 1964 г. нами совместно с методистом В. И Крупичем был проведен обучающий эксперимент в восьмых классах школы № 715 с применением такой модификации в изображениях В принципиальных пунктах он строился по той же схеме, что приводится дальше в настоящей работе. На предложенной нами модели В. И Крупич разработал классификацию задач, изложенную им в сообщении «Об одном эффективном методе решения алгебраических задач в средней школе» (сб. X «Новых исследований в педагогических науках» 1967) Однако основные идеи (в силу различия наших методических под-І ходов) не могли войти в его сообщение. Конец страницы 398 ¯ Начало страницы 399 ¯ т. е. к 10Х + 54 = 7 (X = 27). Во избежание недоразумений необходимо сделать одно замечание: мы только в целях удобства описания разделяем процедуры построения изображения как средства и процедуры последующего выражения значений параметров и составления уравнений — реально, в практике, они идут совместно. Как и в последующем случае, необходимо решить небольшое число таких задач: по две на работу и на движение. При решении этих задач преследуются те же самые цели — отработка процедур по выделению в условии двух ситуаций и представлению о связи трех параметров как связи по формуле: «Площадь прямоугольника равна произведению его сторон». После решения этих задач у некоторых учащихся может выработаться знание об этих задачах, так о типе, мы подчеркиваем слово «может», ибо сами еще не сделали ничего для этой цели, и, если такая выработка произошла, то произошла она помимо нашего целенаправленного участия. С точки зрения становления способа решения пока заготовлен только материал для дальнейшей работы. Даже тот факт, что для трех различных случаев — площади, рработы и движения — при решении были применены одни и те же процедуры, может не осознаться как закономерный. Для того чтобы эта закономерность стала явной, нужна постановка специальной задачи, в которой показывалась бы тождественность итогового уравнения у задач с различным предметным содержанием. В таком случае одно из предметных содержаний выступает как эталон, в который переводимо любое другое предметное содержание. В нашем случае удобно любое предметное содержание переводить в задачи на площадь,— это обусловлено специфической природой применяемого средства. Конкретно это выглядит так: после составления уравнения для задачи на движение формулируется новая задача — нисходя из тех же данных составить условие новой задачи, но уже на площадь. Такую работу лучше всего провести у классной доски, с тем чтобы впоследствии дать аналогичное задание, но уже для задачи на работу. При проведении этой работы должны четко иметься в виду преследуемые цели — формирование представления о том, что эти задачи составляют один тип. Конец страницы 399 ¯ Начало страницы 400 ¯ Фактически единство типа обусловлено тем, что они решаются за счет применения одного и того же средства и, следовательно, имеют единообразную процедуру решения. Но на этом этапе учащиеся еще не становятся на рефлексивную позицию, выделения и анализа средств, но просто нащупывают общую закономерность хода решения, решая варьирующиеся задачи.
|
