Для плоских рам

 

Рамой называют строительную конструкцию, элементы которой имеют форму бруса (стержня) и работают в основном на изгиб или изгиб с кручением. Соединение стержней рамы между собой осуществляется жесткими узлами. Поэтому изгиб одного из участков рамы вызывает деформацию других, связанных с ним участков.

В частном случае оси всех элементов рамы, оси симметрии их поперечных сечений (или главные центральные оси), а также все внешние силы могут лежать в одной плоскости. Такая рама называется плоской. Очевидно, что деформированная ось рамы будет лежать в той же плоскости.

Ось поперечного сечения элемента плоской рамы, лежащую в ее плоскости, обозначим y, а вторую ось сечения – x.

В поперечных сечениях плоской рамы могут возникать только три внутренних силовых фактора: нормальная сила (N), поперечная сила (Q_y) и изгибающий момент (M_x).

На рисунке 1.12 показана расчетная схема плоской рамы и направления внутренних силовых факторов в одном из ее сечений, считающиеся положительными.

Обозначения реакций опор не связаны с обозначениями осей поперечного сечения. Рама отнесена к системе осей координат Оxу, в которой ось Ох горизонтальна, а ось Оу вертикальна, что и дает обозначения составляющих реакций опор: Х_А, У_А, У_В (Х_В = 0).

Правило знаков для N и Q_y остается без изменений
(см. пп. 1.1, 1.3). Для изгибающего момента M_x сохраним то же правило знаков, что и для балок, но при этом следует иметь в виду, что на вертикальных участках знак M_х (а следовательно, и слагаемых в аналитическом выражении) зависит от того, с какой стороны (левой или правой) рассматривать этот участок.

 

 

Рисунок 1.12 – Пример расчетной схемы плоской рамы

 

Чтобы избежать этого неудобства, условимся обход контура рамы при записи аналитических выражений совершать изнутри и сто-
рону, с которой находится наблюдатель, помечать звездочкой
(Ä – см. рис. 1.12). Это равносильно тому, что для наблюдателя нижние волокна балки находятся со стороны, помеченной Ä, – изнутри, а верхние – снаружи контура рамы. Следовательно, показанный в сечении первого участка рамы изгибающий момент М_х будет положительным (см. рис. 1.12). Аналитические выражения внутренних силовых факторов для этого участка:

.

Поскольку каждый элемент рамы можно рассматривать как балку (балочный элемент), то составление аналитических выражений внутренних силовых факторов осуществляется по тем же правилам, что для стержней и балок (см. пп. 1.1 и 1.3). Построение эпюр N, Q_y, M_x производится на контурах, которые вычерчиваются в том же масштабе, что и контур расчетной схемы рамы, и полностью повторяют его форму (всего вычерчивают три контура – по числу подлежащих построению эпюр). Эти контуры (оси эпюр) должны размещаться обязательно на одной странице с чертежом расчетной схемы рамы. Положительные значения ординат эпюр N и Q_y откладывают снаружи контура, отрицательные – внутри. Значения изгибающих моментов откладывают со стороны сжатых волокон элемента рамы (это соответствует правилу: (+) – вверх, (–) – вниз) и поэтому знаки на эпюре М_х не указывают. Штриховку выполняют в направлении отложенных ординат, то есть перпендикулярно к оси рамы. (Студенты строительных специальностей строят эпюру М_х «на растянутых волокнах»).

Рассмотрим примеры построения эпюр N, Q_y, M_x для плоских рам.

Пример 1.6. Построить эпюры внутренних силовых факторов для бруса с ломаной осью (рис. 1.13, а).

 

б

д

г

в

а

Рисунок 1.13 – Расчетная схема и эпюры N, Q_y, M_x к примеру 1.6

 

Решение: реакции опоры в данном случае можно не определять, если рассматривать отсеченную часть со стороны незакрепленного конца бруса.

Разбивка на участки и координаты произвольных сечений каждого участка показаны на рисунке 1.13, а. Границами участков являются узлы (в данном случае узел К) и точки приложения внешних сил.

Записываем аналитические выражения нормальных сил N по участкам согласно правилу (см. п.1.1):

 

 

Строим эпюру (см. рис. 1.13, б).

Записываем аналитические выражения поперечных сил Q_y, воспользовавшись правилом, сформулированным в п. 1.3:

 

.

.

 

Строим эпюру Q_y (см. рис. 1.13, в).

Составляем аналитические выражения изгибающих моментов по правилу (см. п. 1.3):

 

0 £ z ₁ £1,6 ℓ;; ;

, 0 £ z ₃ £ ℓ;;

,

0 £ z ₄ £ 0,8 ℓ;.

 

Производим вычисления и строим эпюру M_x (см. рис. 1.13, г):

 

.

 

Проверка построенных эпюр производится по правилам, указанным в п. 1.3 и примере 1.3, применительно к каждому элементу рамы.

Во избежание ошибок можно также проверить равновесие узла К (см. рис. 1.13, а), вырезав этот узел и приложив в сечениях, примыкающих к узлу, силовые факторы, взятые с эпюр N, Q_y, M_x
(см. рис. 1.13, д).

Пример 1.7. Построить эпюры внутренних силовых факторов для рамы (рис. 1.14, а).

 

 

Рисунок 1.14 – Расчетная схема рамы и эпюры N, Q_y, M_x к примеру 1.7

Решение: определяем реакции опор:

 

;

,

откуда .

,

откуда .

(проверка):

.

Разбиваем раму на участки, на каждом из которых проводим произвольное сечение и указываем его координату z_i (см. рис. 1.14, а).

Записываем аналитические выражения нормальных сил, пользуясь правилом, указанным в п.1.1:

;

.

Эпюра N показана на рисунке 1.14, б.

Записываем аналитические выражения поперечных сил, руковод-ствуясь правилом, данным в п.1.3:

Эпюра Q_y построена на рисунке 1.14, в.

Составляем аналитические выражения изгибающих моментов по правилу, сформулированному в п. 1.3:

Производим вычисления изгибающих моментов в характерных сечениях:

По полученным значениям строим эпюру М_х (рис. 1.14, г). Производим проверку построенных эпюр, пользуясь правилами, указанными в п. 1.3 и примере 1.3, применительно к каждому элементу рамы, а также проверяем равновесие узлов рамы (см. рис. 1.14, д).

Пример 1.8. Построить эпюры внутренних силовых факторов для рамы с криволинейными участками (рис. 1.15, а).

Решение: определяем реакции опор:

откуда

откуда

Проверка: – Y_А + Y_В = 0.

Значения реакций опор указываем на чертеже.

Разбиваем раму на участки и проводим на каждом участке произвольное поперечное сечение (см. рис. 1.15, а). В отличие от прямолинейного участка, положение поперечного сечения которого определяется координатой z, на криволинейных участках вводим угловую координату j, отсчет которой ведем от начала участка.

 

а

д

г

б

в

 

 

Рисунок 1.15 – Расчетная схема и эпюры к примеру 1.8

Перед составлением аналитических выражений N, Q_y, M_x удобно внешние силы, приложенные по одну сторону от сечения криволинейного участка, разложить на их составляющие, одна из которых направлена по нормали к сечению, а другая – по направлению сечения (оси n и t – см. рис. 1.15, а). Разложения сил показаны на рис. 1.15, а. Они облегчают получение аналитических выражений N и Q_y.

Для составления выражений изгибающего момента M_x эти разложения не требуются. Аналитические выражения N, Q_y, M_x составляются по тем же правилам, что и для рам с ломаной осью (см пп. 1.1, 1.3, 1.5).

В данном случае имеем:

По этим выражениям производятся вычисления внутренних силовых факторов в характерных сечениях и строятся эпюры N, Q_y, M_x
(см. рис. 1.15). На криволинейных участках значения ординат откладываются перпендикулярно к оси бруса (вдоль оси t).