Методические указания по выполнению задания

 

В задаче № 1 требуется выполнить проектировочный расчет плоской рамы, элементы которой находятся в разных условиях нагружения и имеют различную форму сечения.

Чтобы определить вид нагружения каждого участка рамы, необходимо, пользуясь методом сечений, построить эпюры внутренних силовых факторов. С учетом того, что касательные напряжения, связанные с изгибом, в сечениях сплошной формы обычно невелики, эпюры и строить необязательно, ограничившись построением эпюр крутящих и изгибающих моментов.

Если участок имеет круглое или кольцевое сечение и в его сечениях согласно построенным эпюрам возникают изгибающие и крутящие моменты, следует определить сечение, в котором эти моменты наибольшие. Это сечение называют опасным, так как в нем имеются две точки, также называемые опасными, в которых расчетные напряжения достигают наибольших значений в сравнении с любыми другими точками участка. Опасные точки находятся на концах диаметра, перпендикулярного к вектору результирующего изгибающего момента в сечении:

 

(8.1)

Условие прочности для пластичных материалов согласно гипотезе наибольших касательных напряжений (третья гипотеза прочности) и гипотезе удельной потенциальной энергии формоизменения (четвертая гипотеза прочности), устанавливающим критерии пластичности, в случае круглого или кольцевого сечения записывается в виде:

 

(8.2)

где – эквивалентное (расчетное) напряжение опасной точки по соответствующей гипотезе прочности; W_x – осевой момент сопротивления сечения, вычисляемый для круглого (диаметром D) и кольцевого сечений соответственно по формулам (d – внутренний диаметр кольца, D – наружный):

 

(8.3)

– эквивалентный (расчетный) момент по третьей или четвертой гипотезе прочности соответственно:

(8.4)

(8.5)

где и – изгибающие моменты в сечении; – крутящий момент в этом же сечении.

Моменты , , могут достигать наибольших значений не в одном и том же, а в разных сечениях. В этом случае приходится вычислять эквивалентный момент по формуле (8.4) или (8.5) в нескольких (предположительно опасных) сечениях с тем, чтобы найти его наибольшее значение.

В случае проектировочного расчета необходимые размеры сечения определяются по условию прочности (8.2):

(8.6)

Если участок рамы, находящийся в условиях изгиба с кручением, имеет некруглое, в частности прямоугольное сечение, то понятие "эквивалентный (расчетный, приведенный) момент" неприменимо.

Поскольку наибольшие значения напряжений от кручения и изгиба могут возникать в разных точках исследуемого сечения, опасными могут быть точки с наибольшими нормальными напряжениями, точки с наибольшими касательными напряжениями или точки, в которых нормальные и касательные напряжения имеют промежуточные значения. Указать опасную точку опасного сечения часто можно, лишь вычислив значения эквивалентных напряжений в нескольких (предположительно опасных) точках и сравнив полученные результаты.

Эквивалентные напряжения при изгибе с кручением в случае некруглых сечений вычисляют:

– по третьей гипотезе прочности:

; (8.7)

– по четвертой гипотезе прочности:

. (8.8)

При этом нормальные напряжения s следует определять по формуле

, (8.9)

где изгибающие моменты М_х, М_у и координаты точки (х, у), в которой определяются напряжения, берутся по абсолютной величине, а знак напряжений устанавливается по правилу: при растяжении соответствующего волокна s > 0, а при сжатии – s < 0, что легко определить по рисунку сечения и направлению изгибающих моментов М_х и М_у в этом сечении.

Наибольшие значения касательных напряжений в прямоугольном сечении возникают в крайних точках сечения, расположенных посередине длинных сторон:

, (8.10)

где W_k – момент сопротивления сечения при кручении:

, (8.11)

где b – длина короткой стороны; b – коэффициент, выбираемый из справочной таблицы 8.3.

Касательные напряжения, возникающие посередине коротких сторон сечения, имеют меньшие значения:

, (8.12)

где g – коэффициент, меньший единицы.

Значения коэффициентов b и g зависят от отношения длин сторон прямоугольника (табл. 8.3) [1].

 

Таблица 8.3 – Значения коэффициентов a, b, g

		1,5	1,75		2,5
	0,140	0,294	0,375	0,457	0,622	0,790	1,123	1,789	2,456
	0,208	0,346	0,418	0,493	0,645	0,801	1,128	1,789	2,456
		0,859	0,820	0,795	0,766	0,753	0,745	0,743	0,742

 

Коэффициент a используется при вычислении геометрической характеристики крутильной жесткости , необходимой для вычисления угла закручивания j стержня длиной ℓ;:

(8.13)

где G – модуль упругости материала при сдвиге;

. (8.14)

В некоторых случаях при определении касательных напряжений следует учитывать и напряжения , возникающие от изгиба ( ).

По условию прочности s_экв < [ s ], где s_экв определяется по (8.7) или (8.8), нетрудно определить размеры поперечного сечения стержня, так как соотношение этих размеров h / b задано.

Построение нейтральной оси поперечного сечения прямоугольной формы (согласно требованию п. 4 задачи № 1) нетрудно выполнить, вычислив угол наклона этой оси к главной центральной оси х сечения:

(8.15)

где – угол между силовой линией в сечении и главной центральной осью y сечения.

Угол считаем положительным, если силовая линия проходит через первый и третий квадранты системы главных центральных осей сечения.

При > 0 по (8.15) имеем < 0, то есть нейтральная ось отклоняется от оси х по ходу часовой стрелки.

Формула (8.15) соответствует косому изгибу, то есть изгибу, при котором в сечении возникают два изгибающих момента М_х и М_у, а нормальная сила N отсутствует. Положение силовой линии, то есть следа плоскости действия результирующего изгибающего момента М в сечении, определяется по направлению перпендикуляра, проведенного через центр тяжести сечения к направлению вектора – мо-
мента М.