Линейные операции над векторами. 1. Охарактеризуйте систему органів панівної верхівки Великого князівства Литовського.

 

1. Охарактеризуйте систему органів панівної верхівки Великого князівства Литовського.

2. Назвіть органи місцевого управління Великого князівства Литовського.

3. Охарактеризуйте систему органів панівної верхівки Речі Посполитої.

4. Назвіть органи місцевого управління Речі Посполитої.

5. Назвіть військові органи.

Література:

1. Рішення Люблінського сейму про об’єднання Польщі і Литви в одну державу – Річ Посполиту (1569).

2. Захарченко П.П. Історія держави і права України.: Університет «Україна», 2005.

3. Іванов В.М. Історія держави і права України в 2-х ч. – К.: 2002.

4. Іванов В.М. Історія держави і права України: Навчальний посібник. – К.: Атіка, 2007.

5. Історія держави і права України: Посіб. Для підготов. до іспитів / В.І. Орленко. В.В. Орленко. – 3-е вид., доповн. та перероб. – К.: Вид. Паливода А.В., 2008.

6. Історія держави і права України / За ред.. В.Я. Тація, А.Й. Рогожина. – К.: Ін Юре, 2000.

7. Кульчицький В.С., Тищик Б.Й. Історія держави і права України: Навч. посіб. – К.:Атіка, 2001.

8. Музиченко П. Історія держави і права України: навч. посіб. – К.: «Знання», КОО,2006.

9. Хрестоматія з історії держави і права України. У 2-х т. / За ред.. В.Г. Гончаренка. – К.: Ін Юре, 1997.

 

Векторная алгебра

 

Основные понятия

 

Величины, встречающиеся в механике, физике и других прикладных науках, могут быть разделены на два типа: скалярные и векторные. Величины, которые определяются только одним числовым значением, называются скалярными или скалярами (например, масса, время, температура, цена и т. д.). Величины, для определения которых требуется задать кроме числа еще и направление, называются векторными (например, скорость, ускорение, сила и т. д.). Геометрически их изображают вектором.

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок прямой с указанием точек начала и конца .

Обозначать вектор в этом случае будем так: (первая буква – начало, вторая – – конец вектора) или одной буквой , которую пишут в конце вектора (рисунок 1).

Рисунок 1

 

Длину вектора (или модуль вектора) обозначают так: , .

Определение 2. Если длина вектора равна единице, то он называется единичным или ортом. Обозначается – .

Определение 3. Если у вектора начало и конец совпадают, то его длина равна нулю и его называют нулевым, например, . Направление нулевого вектора не определено.

Определение 4. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными (параллельными) – рисунок 2.

Рисунок 2

На рисунке 2 векторы , и коллинеарны, при этом векторы и одинаково направлены (), а векторы и , и противоположно (, ).

В математике обычно рассматривают свободные векторы, то есть когда положение их начала не играет никакой роли.

Определение 5. Векторы и называются равными, если они имеют одинаковую длину, параллельны и одинаково направлены. Кратко

, .

То есть вектор равен , если он может быть получен при помощи параллельного переноса.

Определение 6. Векторы, лежащие в одной плоскости (или в параллельных плоскостях), называются компланарными.

Очевидно, что любые два вектора компланарны, а три вектора не всегда можно «уложить» в одну плоскость.

 

Линейные операции над векторами

 

К линейным операциям над векторами относятся: сложение векторов и умножение вектора на число.

Определение 1. Сумой двух векторов и называется новый вектор, который идет из начала вектора в конец вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора (правило треугольника) – рисунок 3.

Рисунок 3

 

Иногда два вектора удобнее складывать по правилу параллелограмма. Для этого векторы переносят так, чтобы начала их были в одной точке . Затем строят параллелограмм со сторонами, равными и . Вектор будет вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущий из общего начала и (точки ). Это (рисунок 4).

Рисунок 4

 

Пусть требуется сложить векторов , , . Суммой этих векторов будет вектор , соединяющий начало , первого вектора, с концом последнего вектора при условии, что начало каждого совмещено с концом предыдущего (рисунок 5).

Рисунок 5

 

Определение 2. Разностью двух векторов и называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор .

Если два вектора и приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца («вычитаемого») к концу («уменьшаемого»). Это на рисунке 4 диагональ .

Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимнообратными: если один из них обозначается символом , то другой обозначается символом . Тогда . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектору, обратного «вычитаемому».

Определение 3. Произведением вектора на число (или также ) называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа ; он параллелен вектору или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор , если – число положительное, и противоположно вектору , если – число отрицательное (рисунок 6).

Рисунок 6

 

Любой вектор может быть представлен в виде произведения двух сомножителей – его длины и единичного вектора того же направления, что и вектор , то есть

или .

Теорема 1. Два ненулевых вектора и параллельны тогда и только тогда, когда существует такое единственное число , что . Это необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Справедливы легко проверяемые свойства:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Эти свойства позволяют выполнять действия с векторными выражениями так же, как и с алгебраическими. Например,

.