Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме





 

Определение 1. Координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси.

Отрезки , обозначим и , обозначим . Тогда вектор (рисунок 7) имеет координаты

.

Рисунок 7

 

Проекции:

,

.

То есть координаты вектора равны разности между координатами конца и начала.

Из по теореме Пифагора, если

,

тогда

,

то есть длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Аналогично и в 3-хмерном пространстве:

,

где имеет координаты , , , которые в дальнейшем будем обозначать в скобках

.

Определение 2. Минимальное количество векторов, через которые можно выразить любой вектор назовем базисом.

Так на прямой базисом является один вектор (рисунок 8). Через него выразим вектор

.

Рисунок 8

На плоскости базисом являются два неколлинеарных вектора и (рисунок 7).

Определение 3. Тройка векторов , , называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1) вектор лежит на оси , вектор – на оси , вектор – на оси ;

2) каждый из векторов , , направлен на своей оси в положительную сторону;

3) векторы , , – единичные, то есть

, , .

Из рисунка 7:

,

где ,

и .

,

тогда

. (1)

Итак, вектор задается или координатами , или выражением (1), которое называется разложением вектора по координатному базису.

Аналогично и в 3-хмерном пространстве.

Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису , , , то есть может быть представлен в виде

;

коэффициенты этого разложения являются проекциями вектора (то есть , , суть проекции вектора на координатные оси).

Теорема. Линейным операциям над векторами соответствуют в точности такие же операции над их координатами.

Например,

, ,

тогда

,

.

Если векторы параллельны, то их координаты пропорциональны

.

Пример 1. Задача №776 Клетеник Д.В.

Проверить коллинеарность векторов и . Установить какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну сторону или в противоположные стороны.

Решение.

1. Проверим коллинеарность:

.

Следовательно, векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональны. Коэффициент пропорциональности

2. в 3 раза и векторы направлены в противоположные стороны.

Действительно

, .

Пример 2. Задача №775 Клетеник Д.В.

Даны два вектора и . Определить проекции на координатные оси следующих векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Решение. Решим первую и пятую задачи:

1) .

Ответ: проекция на ось будет ; на ось ; на ось : .

5) , , .

Ответ: ; ; .

 







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 1475. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Ваготомия. Дренирующие операции Ваготомия – денервация зон желудка, секретирующих соляную кислоту, путем пересечения блуждающих нервов или их ветвей...

Билиодигестивные анастомозы Показания для наложения билиодигестивных анастомозов: 1. нарушения проходимости терминального отдела холедоха при доброкачественной патологии (стенозы и стриктуры холедоха) 2. опухоли большого дуоденального сосочка...

Сосудистый шов (ручной Карреля, механический шов). Операции при ранениях крупных сосудов 1912 г., Каррель – впервые предложил методику сосудистого шва. Сосудистый шов применяется для восстановления магистрального кровотока при лечении...

Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...

Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...

Седалищно-прямокишечная ямка Седалищно-прямокишечная (анальная) ямка, fossa ischiorectalis (ischioanalis) – это парное углубление в области промежности, находящееся по бокам от конечного отдела прямой кишки и седалищных бугров, заполненное жировой клетчаткой, сосудами, нервами и...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия