Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме





 

Определение 1. Координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси.

Отрезки , обозначим и , обозначим . Тогда вектор (рисунок 7) имеет координаты

.

Рисунок 7

 

Проекции:

,

.

То есть координаты вектора равны разности между координатами конца и начала.

Из по теореме Пифагора, если

,

тогда

,

то есть длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Аналогично и в 3-хмерном пространстве:

,

где имеет координаты , , , которые в дальнейшем будем обозначать в скобках

.

Определение 2. Минимальное количество векторов, через которые можно выразить любой вектор назовем базисом.

Так на прямой базисом является один вектор (рисунок 8). Через него выразим вектор

.

Рисунок 8

На плоскости базисом являются два неколлинеарных вектора и (рисунок 7).

Определение 3. Тройка векторов , , называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1) вектор лежит на оси , вектор – на оси , вектор – на оси ;

2) каждый из векторов , , направлен на своей оси в положительную сторону;

3) векторы , , – единичные, то есть

, , .

Из рисунка 7:

,

где ,

и .

,

тогда

. (1)

Итак, вектор задается или координатами , или выражением (1), которое называется разложением вектора по координатному базису.

Аналогично и в 3-хмерном пространстве.

Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису , , , то есть может быть представлен в виде

;

коэффициенты этого разложения являются проекциями вектора (то есть , , суть проекции вектора на координатные оси).

Теорема. Линейным операциям над векторами соответствуют в точности такие же операции над их координатами.

Например,

, ,

тогда

,

.

Если векторы параллельны, то их координаты пропорциональны

.

Пример 1. Задача №776 Клетеник Д.В.

Проверить коллинеарность векторов и . Установить какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну сторону или в противоположные стороны.

Решение.

1. Проверим коллинеарность:

.

Следовательно, векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональны. Коэффициент пропорциональности

2. в 3 раза и векторы направлены в противоположные стороны.

Действительно

, .

Пример 2. Задача №775 Клетеник Д.В.

Даны два вектора и . Определить проекции на координатные оси следующих векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Решение. Решим первую и пятую задачи:

1) .

Ответ: проекция на ось будет ; на ось ; на ось : .

5) , , .

Ответ: ; ; .

 







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 1475. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением...

Расчет концентрации титрованных растворов с помощью поправочного коэффициента При выполнении серийных анализов ГОСТ или ведомственная инструкция обычно предусматривают применение раствора заданной концентрации или заданного титра...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия