Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

 

Пусть прямые и имеют угловые коэффициенты и (рисунок 19).

Рисунок 19

 

В

как внешний угол, угол

,

тогда

,

если только . Тогда

,

но

; ,

поэтому

(11)

Если , то и , а это когда числитель дроби (11) равен нулю, то есть, если прямые параллельны, то

.

не существует при . А это возможно, когда знаменатель дроби (11) равен нулю, то есть

(13)

– это условие перпендикулярности двух прямых.

 

Полярное уравнение прямой

 

Полярное уравнение прямой можно определить, указав расстояние от полюса до данной прямой и угол между полярной осью и осью , проходящей через полюс перпендикулярно данной прямой (рисунок 20).

Рисунок 20

 

Для любой точки на данной прямой имеем:

,

но

.

Значит

(14)

есть уравнение прямой в полярных координатах.

 

Нормальное уравнение прямой

 

Перепишем уравнение (14) в виде:

.

Учитывая, что в полярной системе координат

,

получим уравнение

, (16)

которое называется нормальным уравнением прямой.

(рисунок 21).

Рисунок 21

 

Тогда уравнение (16) можно переписать в виде

. (17)

Чтобы уравнение (4) привести к виду (17) надо обе части его умножить на нормирующий множитель , знак которого выбирают противоположным знаку свободного члена в уравнении (4).

Чтобы найти расстояние от любой точки до прямой надо в нормальное уравнение прямой подставить координаты этой точки, то есть

или .