Прямая в пространстве

 

Прямая в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей: и

. (28)

Уравнения (28) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Задача 1. Через точку , параллельно вектору провести прямую (рисунок 29).

Рисунок 29

 

Решение. Для вывода уравнения возьмем на прямой текущую точку .

Вектор параллелен вектору . Значит, их координаты пропорциональны, то есть

. (29)

Уравнения (29) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

А вектор называется направляющим.

Обозначим отношения из равенств (29) через

и выразим все переменные

(30)

получим уравнения прямой, которые называются параметрическими.

Задача 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение. В качестве направляющего вектора можно принять вектор и точку, через которую проходит прямая, возьмем , тогда уравнения будут:

, (31)

которые называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.

От общих уравнений прямой (28) можно перейти к каноническим уравнениям (29). Координаты точки на прямой получаем из системы (28), придав одной из координат произвольное значение (например ).

Так как прямая перпендикулярна векторам и , то за направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение .

. (32)

Замечание. Очевидно, что для одной и той же прямой можно записать много общих уравнений вида (28). А множество плоскостей, проходящих через одну прямую будет:

. (33)

Это уравнение называется уравнением пучка плоскостей. В нем – произвольная постоянная.

Чтобы от канонических уравнений прямой перейти к общим, достаточно составить из равенств (29) две различные произвольные пары, например

.

Угол между прямыми, заданными уравнениями

: , где .

: , где

принимают как угол между направляющими векторами (рисунок 30).

Рисунок 30

 

,

. (34)

Если прямые и перпендикулярны, то , то есть

: .

и условие параллельности двух прямых:

: .

Две прямые и лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю:

.

Они либо пересекаются, если , либо параллельны, если .