Совместные задачи на прямую и плоскость

 

1) Если в задаче необходимо найти уравнение плоскости, проходящей через прямую, заданную общими уравнениями (28), то лучше воспользоваться уравнением пучка плоскостей (33), и из дополнительных условий найти неизвестный параметр .

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую : и

а) точку ,

б) параллельную оси .

Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей . Так как точка принадлежит плоскости, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению тождественно. Поэтому

,

отсюда .

Найденное подставим в уравнение пучка плоскостей, и тогда после приведения подобных, уравнение плоскости будет:

,

,

.

Замечание. Если прямая, через которую проходит плоскость, задана каноническими уравнениями, то необходимо перейти от них к общим уравнениям.

2) Если плоскость проходит через точку и известен нормальный вектор или его легко найти, то лучше воспользоваться уравнением (19).

Пример 4. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярно прямой : .

Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости , то ее направляющий вектор можно принять за нормальный вектор для плоскости (рисунок 31).

Рисунок 31

 

Тогда уравнение плоскости по формуле (19) будет:

,

то есть

.

3) Угол между прямой и плоскостью – есть угол, образованный прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть плоскость задана уравнением: , где , а прямая : .

Обозначим угол между прямой и плоскостью через , а через – угол между вектором нормали и направляющим вектором прямой (рисунок 32).

Рисунок 32

 

Тогда

.

Найдем

(считая )

и тогда, так как , получим

или

. (35)

Если прямая параллельна плоскости , то (рисунок 33).

Рисунок 33

 

Поэтому , то есть

(36)

– это условие параллельности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости , то векторы и параллельны (рисунок 34).

Рисунок 34

 

Поэтому равенства

(37)

являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.

4) Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, надо прорешать систему

Для этого надо:

1) Перейти от канонических уравнений прямой к параметрическим

. (40)

2) Подставляя эти выражения для ; и в уравнение (39) и решая его относительно , находим .

3) Найденное подставим в (40). Это и будут координаты точки пересечения прямой и плоскости.

В общем виде это выглядит так:

или

тогда, если прямая не параллельна плоскости , то есть

,

то

.

Если параллельна , то есть

,

и если при этом

а) , то прямая параллельна плоскости и пересекать ее не будет;

б) если и , то прямая целиком лежит в плоскости .

То есть

(41)

является условием принадлежности прямой плоскости.