Прямая на плоскости

 

Утверждение. Любое уравнение первой степени на плоскости – есть прямая.

Уравнение

(4)

есть общее уравнение прямой.

При уравнение

.

Переобозначив

получим

– это прямая, параллельная оси , если , то

.

Переобозначим

,

тогда

– это прямая, параллельная оси .

– уравнение оси (оси абсцисс).

– уравнение оси (оси ординат).

эЧтобы убедиться лежит ли точка на прямой, необходимо подставить координаты точки в уравнение этой прямой.

Пример 1. Принадлежат ли точки и прямой .

Решение. Точка принадлежит прямой, так как

,

а точка не принадлежит прямой, так как

.

Чтобы узнать координаты точки пересечения двух прямых, нужно совместно прорешать систему уравнений, определяющих эти прямые

.

Если

,

то есть коэффициенты в уравнениях прямых не пропорциональны, то прямые пресекаются в одной точке.

Если коэффициенты при неизвестных в уравнениях прямых и свободные члены пропорциональны, то прямые сливаются (система имеет бесчисленное множество решений).

Если коэффициенты пропорциональны, а свободные члены нет, то прямые параллельны (система решений не имеет).

Из уравнения (4) выразим «»

. (5)

Переобозначим через

, ,

тогда уравнение (5) примет вид:

(8)

– уравнение прямой с угловым коэффициентом , где – угол между прямой и положительным направлением оси , и «» – отрезок , где точка , точка (рисунок 17).

Рисунок 17

 

Пусть прямая проходит через точку , тогда координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой (7) тождественно, то есть

. (8)

Вычтем из равенства (7) равенство (8), получим

. (9)

Это уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом .

Пусть прямая проходит через две точки и .

Возьмем текущую точку , лежащую на этой же прямой (рисунок 18).

Рисунок 18

 

Векторы и лежат на одной прямой. Координаты их пропорциональны, то есть

. (10)

Это уравнение прямой, проходящей через две точки.