Уравнения прямой в пространстве Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или парал­лельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой а, его координаты — буквами l, т, т

а = { l; т; п}.

Если известна одна точка М₀ (х₀; у₀; z₀) прямой и направляющий вектор а = { l; т; п}. то прямая может быть определена (двумя) уравне­ниями вида:

(1)

В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки

М₁ (х₁; у₁; z₁ ) и М₂ (х₂; у₂; z₂) имеют вид:

(2)

Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических урав­нениях (1); мы получим:

Отсюда (3)

Это — параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₁ (х₁; у₁; z₁ ) в направлении вектора а = { l; т; п}. В уравнениях (3) t рас­сматривается как произвольно изменяющийся параметр х, у, z — как функции от t; при изменении t величины х, у, z меняются так, что точка М (х; у; z) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3), как уравнения движения точки М, то эти уравнения будут определять пря­молинейное и равномерное движение точки М. При t = 0 точка М совпадает с точкой M₀. Скорость υточки М постоянна и определяется формулой

υ =

Пример 2. По координатам вершин пирамиды найти

уравнение высоты, опущенной из вершины на грань заданной уравнением .

; ; ; .

Решение: Составим уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Так как точка принадлежит высоте и высота параллельна вектору нормали грани , то уравнение запишется в виде:

, .

Ответ: .

Решить задачи:

2.134. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

М ₁ (2; 0; — 3) параллельно:

1) вектору а = {2; —3; 5};

2) прямой

3) оси Ох; 4) оси Оу; 5) оси Oz.

2.135. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

1) (1; — 2; 1), (3; 1; —1); 2) (3; —1; 0),(1; 0, —3);

3) (0; —2; 3), (3; -2; 1); 4) (1; 2; —4), (—1; 2; —4).

2.136. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

М₁;(—1; —3) параллельно

1) вектору а = {2; —3; 4};

2) прямой

3) прямой х=3е— 1, у = — 2е+3, z = 5t + 2.

2.137. оставить параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: 1) (3; —1, 2), (2; 1; 1); 2) (1; 1; —2), (3; —1; 0); 3) (0; 0; 1), (0; 1; —2).

2.138. Через точки M ₁ (—6; 6; —5) и М₂(12; —6; 1) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

2.139. Даны вершины треугольника А(3; 6; —7), В(—5; 2; 3) и С(4; —7; —2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведённой из вершины С.

2.140. Даны вершины треугольника А(1;—2;—4), В(3; 1; — 3) и С(5; 1; —7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.

2.141. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₁(1; 3; —5) параллельно прямой

2.142. Составить канонические уравнения следующих прямых:

1) 2)

3)

2.143. Составить параметрические уравнения следующих прямых:

1) 2)