Угол между плоскостями, условия параллельности, перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости

Если две плоскости заданы общими уравнениями:

то по уравнениям двух плоскостей можно определить их нормали .

На основании теоремы об углах, образованных взаимно перпендикулярными сторонами, один из углов между плоскостями можно определить как угол между нормалями по формуле:

.

2.116. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:

1) 2х — 3у + 5z — 7 = 0, 2х — 3у + 5z + 3 = 0;

2) 4х+2у —4z + 5 = 0, 2х + у + 2z—1=0;

3) х—3z +2 = 0, 2х —6z — 7 = 0.

2.117. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

1) 3 х — у — 2 z — 5 = 0, х + 9 у — 32 + 2 = 0;

2) 2 х + 3 у —2 —3 = 0, х — у — z + 5 = 0;

3) 2 х —5у + z = 0, х + 22 —3 = 0.

2.118. Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:

1) 2 х + lу + 3 z — 5 = 0, mх —6 у —6 z + 2 = 0;

2) 3 х — у + lz — 9 = 0, 2 х + mу + 2z —3 = 0;

3) mx + 3 у — 2 z — 1=0, 2 х — 5 у — lz = 0.

2.119. Определить, при каком значении l следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:

1) 3 х — 5 у + lz — 3 = 0, х + 3 у + 2 z + 5 = 0;

2) 5 х + у — 32 — 2 = 0, 2 х + lу — 3z+ 1 = 0;

3) 7 х — 2 у — 2 = 0, lх + у — 3z — 1 = 0.

2.120. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:

1) х — у + z — 1 = 0, х + у — z + 3 = 0;

2) 3 у — z = 0, 2 у + z = 0;

3) 6 х + 3 у — 2 z = 0, х + 2 у + 6 z — 12 = 0;

4) х + 2 у + 2 z — 3 = 0, 16 х +12 у — 15 z — 1 = 0.

2.121. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5 х — 3 у + 2 z — 3 = 0.

2.122. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M ₁(3; —2; —7) параллельно плоскости 2 х — 3 z + 5 = 0.

2.123. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

2 х — у + 3 z — 1=0, х + 2 у + z = 0.

2.124. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M ₁(2; —1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям:

2 х — z + 1 = 0, у = 0.

2.125. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М₁ (1; — 1; —2) и M ₂(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости х — 2 у + 3 z — 5 = 0.