Основные теоретические сведения. 1) -уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору - нормали к плоскости.

1) - уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору - нормали к плоскости.

 

2) -- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .

 

3) Если две плоскости заданы общими уравнениями:

то по уравнениям двух плоскостей можно определить их нормали .

На основании теоремы об углах, образованных взаимно перпендикулярными сторонами, один из углов между плоскостями можно определить как угол между нормалями по формуле:

.

 

Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ; ; .

Решение: Составим уравнение плоскости :

, ,

,

,

,

.

Ответ: .

Решить задачи:

2.108. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(2; 1; —1) и имеет нормальный вектор n ={1, —2; 3}.

2.109. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор п = {5; 0; —3}.

2.110. Точка Р (2; —1; —1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравне­ние этой плоскости.

2.111. Даны две точки М₁(3; —1; 2) и М₂(4; —2; —1). Соста­вить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендику­лярно к вектору .

2.112. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ (3;4; —5) параллельно двум векторам a₁ = {3; 1; —1} и a₂ = {1; —2; 1}.

2.113 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M ₁(2; — 1; 3) и М ₂(3; 1; 2) параллельно вектору а = {3; — 1; —4}.

2.114. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: М ₁ (3; — 1; 2), М ₂ (4; — 1; — 1) и М ₃ (2; 0; 2).

2.115. Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:

1 ) 2х—у — 2z + 5 = 0; 2) х + 5у — z = 0;

3) 3х —2у —7 = 0; 4) 5у —3z = 0; 5)х + 2 = 0;

6) у — 3 = 0.