Гипербола

Основные теоретические сведения. Гипербола - геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

каноническое уравнение гиперболы;

;

F₁(-c,0), F₂(c,0) – фокусы;

- эксцентриситет (ε>1);

- уравнения директрис;

- уравнения асимптот.

 

Решить задачи:

2.79. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой располо­жены на оси абсцисс, симметрично относительно начала коорди­нат, зная, кроме того, что:

1) её оси 2а = 10 и 2b = 8;

2) расстояние между фокусами 2с =10 и ось 2b = 8;

3) расстояние между фокусами 2 с = 6 и эксцентриситет ε = ;

4) ось 2 a = 16 и эксцентриситет ε = ;

5) уравнения асимптот

y = ±

и расстояние между фокусами 2с — 20;

6) расстояние между директрисами равно 22 — и расстояние между фокусами 2с = 26;

7) расстояние между директрисами равно и ось 2b = 6;

8) расстояние между директрисами равно и эксцентриситет ε = ;

9) уравнения асимптот у = ± и расстояние между директрисами равно 12 516.

2.80. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой располо­жены на оси ординат, симметрично относительно начала коорди­нат, зная, кроме того, что:

1) её полуоси а = 6, b = 18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);

2) расстояние между фокусами 2 с =10 и эксцентриситет ε = ;

3) уравнения асимптот у = ± и расстояние между вершинами равно 48;

4) расстояние между директрисами равно и эксцентриси­тет ε = ;

5) уравнения асимптот у = ± и расстояние между директрисами равно .

2.81. Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:

1) ^; 2) 3) х ²— 4 у ² = 16;

4) х ² — у ² = 1; 5) 4 х ² — 9 у ² = 25; 6) 25 х ² — 16 у ² = 1;

7) 9 х ² —16 у ²=1.

2.82.. Дана гипербола 16 х ² — 9 у ²=144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы;

3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) урав­нения директрис.

2.83. Дана гипербола 16 х ² — 9 у ² = —144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) урав­нения директрис.

9 х + 2 у — 24 = 0.

2.84. Установить, какие линии определяются следующими урав­нениями:

1) y = + , 2) y = —3 ,

3) х = — , 4) у = + .

Изобразить эти линии на чертеже.

2.85. Дана точка М ₁(10; — ) на гиперболе .

Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M ₁.

2.86. Убедившись, что точка М ₁(— 5; ) лежит на гиперболе ,

определить фокальные радиусы точки M ₁.

2.87. Эксцентриситет гиперболы ε = 2, фокальный радиус ей точки М, проведённый из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом дирек­трисы.

2.88. Эксцентриситет гиперболы ε = 3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

2.89. Определить точки гиперболы , расстояние которых до правого фокуса равно 4,5.

2.90. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

1) точки M₁(6; —1) и М₂(—8; 2 ) гиперболы;

2) точка M₁(— 5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε = ;

3) точка M₁(; —1) гиперболы и уравнения асимптот y = ± ;

4) точка M₁(—3; ) гиперболы и уравнения директрис y = ± ;

5) уравнения асимптот у = ± и уравнения директрис x = ± ;

2.91. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса

Составить уравнение гиперболы, если её эксцентри­ситет ε = 2.

2.92. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

до двух её асимптот есть величина постоянная, равная .

и прямыми, проведёнными через любую её точку параллельно асимптотам, есть величина постоянная, равная .

2.93. Установить, что каждое из следующих уравнений опреде­ляет гиперболу, и найти координаты её центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:

1) 16х² — 9у⁹ — 64х — 54у—161 = 0;

2) 9х² — 16у² + 90х + 32у — 367 = 0;

3) 16х² — 9у² — 64х—18у+199 = 0.

2.94. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) у = — 1+ , 2) у = 7—— ,

3) х = 9 — 2 , 4) х = 5 .

Изобразить эти линии на чертеже.