Окружность

Уравнение (х —a)²+ (у —b)² = R ² (1)

определяет окружность радиуса R с центром С (a; b).

Если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. если a = 0, b = 0, то уравнение (1) принимает вид

х ² + у ² = R ² (2).

Решить задачи:

2.42. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

1) центр окружности совпадает с началом координат и её ра­диус R = 3;

2) центр окружности совпадает с точкой С (2; — 3) и её радиус R = 7;

3) окружность проходит через начало координат и её центр совпадает с точкой С (6; — 8);

4) окружность проходит через точку А (2; 6) и её центр совпа­дает с точкой С (—1; 2);

5) точки А (3; 2) и В (—1; 6) являются концами одного из диа­метров окружности;

6) центр окружности совпадает с началом координат и прямая 3 х — 4 у + 20 = 0 является касательной к окружности;

7) центр окружности совпадает с точкой С (1; —1) и прямая

5 х —12 у + 9 = 0 является касательной к окружности;

8) окружность проходит через точки А (3; 1) и В (—1; 3), а её центр лежит на прямой 3 х — у — 2 = 0;

9) окружность проходит через три точки: А (1; 1), B (1; — 1) и С (2; 0);

10) окружность проходит через три точки: M ₁(— 1; 5), М ₂(— 2; — 2) и M ₃ (5; 5).

2.43. Точка С (3; — 1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2 х — 5 у + 18 = 0

хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окруж­ности.

2.44. Написать уравнения окружностей радиуса R = , касаю­щихся прямой

х — 2 у — 1=0 в точке М ₁ (3; 1).

2.45. Составить уравнение окружности, касающейся двух парал­лельных прямых: 2 х + у — 5 = 0, 2 х + у +15 = 0, причём одной из них — в точке А (2; 1).

2.46. Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А (1; 0) и касаются двух параллельных прямых:

2 х + у + 2 = 0, 2 х + у — 18 = 0.

2.47. Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой

2 х + у = 0, касается прямых 4 х — 3 у +10 = 0, 4 х — 3 у — 30 = 0.

2.48. Составить уравнения окружностей, касающихся двух пере­секающихся 2.49. Составить уравнения окружностей, проходящих через на­чало координат и касающихся двух пересекающихся прямых:

х + 2 у – 9 = 0, 2 х – у + 2 = 0.

2.50. Составить уравнения окружностей, которые, имея центры на прямой

4 х – 5 у – 3 = 0,

касаются прямых 2 х – 3 у – 10 = 0, 3 х – 2 у + 5 = 0.

2.51. Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А (–1; 5) и касающихся двух пересекающихся прямых:

2.52. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых:

4 х – 3 у – 10 = 0, 3 х – 4 у – 5 = 0 и 3 х – 4 у – 15 = 0.

2.53. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых:

3 х + 4 у – 35 = 0, 3 х – 4 у – 35 = 0 и х – 1 = 0.

2.54. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружно­сти? Найти центр С и радиус R каждой из них:

1) (х – 5)² + (у + 2)² = 25; 2) (х + 2)² + у ² = 64;

3) (х —5)² + (у + 2)² = 0; 4) х ² + (у – 5)² = 5;

5) х ²+ у ² – 2 х + 4 у – 20 = 0; 6) х ²+ у ² – 2 х + 4 у + 14 = 0;

7) х ² + у ² + 4 х – 2 у + 5 = 0; 8) х ² + у ² + х = 0,

9) х ² + у ² + 6 х – 4 у + 14 = 0; 10) х ² + у ² + у =0

2.55. Установить, какие линии определяются следующими уравне­ниями:

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Изобразить эти линии на чертеже.

Эллипс

Основные теоретические сведения. Эллипс – геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

каноническое уравнение эллипса;

;

F₁(-c,0), F₂(c,0) – фокусы;

- эксцентриситет (ε<1);

- уравнения директрис.

 

Решить задачи:

2.56. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1) его полуоси равны 5 и 2;

2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;

3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с =10;

4) расстояние между его фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ;

5) его большая ось равна 20, а эксцентриситет ;

6) его малая ось равна 10, а эксцентриситет ;

7) расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с = 4;

8) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;

9) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;

10) расстояние между его директрисами равно 32 и .

2.57. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1) его полуоси равны соответственно 7 и 2;

2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;

3) расстояние между его фокусами 2с = 24 и эксцентриситет

4) его малая ось равна 16, а эксцентриситет

5) расстояние между его фокусами 2с = 6 и расстояние между директрисами равно 16

6) расстояние между его директрисами равно и эксцентриситет

2.58. Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:

1) ; 2) ; 3) х ² + 25 у ² = 25;

4) х ² + 5 y ² = 15; 5) 4 х ² + 9 у ² = 25; 6) 9х² + 25у² = 1;

7) х ² + 4 у ² = 1; 8) 16 х ² + у ² = 16; 9) 25х² + 9у² = 1;

10) 9 х ² + у ² = 1.

2.59. Дан эллипс 9х² + 25у² = 225. Найти: 1) его полуоси; 2) фо­кусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

2.60. Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины кото­рого лежат в фокусах эллипса

х ² + 5 у ² = 20,

а две другие совпадают с концами его малой оси.

2.61. Дан эллипс 9 х ² + 5 у ² = 45. Найти: 1) его полуоси; 2) фо­кусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

2.62. Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины кото­рого лежат в фокусах эллипса

9 х ² + 5 у ² = 1,

две другие совпадают с концами его малой оси.

2.63. Вычислить расстояние от фокуса F (c; 0) эллипса

до односторонней с этим фокусом директрисы.

2.64. Определить, какие из точек A ₁(—2; 3), А ₂(2; —2), А ₃ (2; —4), А ₄(—1; 3), А ₅(—4; —3), А ₆(3; —1), А ₇(3; —2), А ₈ (2; 1), А ₉(0; 15) и А ₁₀(0; —16) лежат на эллипсе 8х²+5у² = 77, какие внутри и какие вне его.

2.65. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Изобразить эти линии на чертеже.

2.66. Эксцентриситет эллипса , фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односто­ронней с этим фокусом директрисы.

2.67. Эксцентриситет эллипса , расстояние от точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

2.68. Дана точка М₁ (2; ) на эллипсе составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M₁.

2.69. Убедившись, что точка М₁ (— 4; 2,4) лежит на эллипсе определить фокальные радиусы точки М₁.

2.70. Эксцентриситет эллипса , центр его совпадает с началом координат, один из фокусов F(—2; 0). Вычислить расстояние от точки M₁ эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.

2.71. Эксцентриситет эллипса , центр его совпадает с на­чалом координат, одна из директрис дана уравнением х =16. Вы­числить расстояние от точки M₁ эллипса с абсциссой, равной - 4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.

2.72. Определить точки эллипса , расстояние которых

до правого фокуса равно 14.

2.73. Определить точки эллипса , расстояние которых

до левого фокуса равно 2,5.

2.74. Через фокус эллипса проведён перпендикуляр

к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

2.75. Составить уравнение эллипса, фокусы которого располо­жены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны:

1) точка М₁ (—2 ; 2) эллипса и его малая полуось b = 3;

2) точка M₂ (2;—2) эллипса и его большая полуось а = 4;

3) точки M₁(4;_— ) и М₂(2 ; 3) эллипса;

4) точка M₁ (; —1) эллипса и расстояние между его фо­кусами 2с =8;

5) точка М₁ (2; — эллипса и его эксцентриситет ;

6) точка M₁ (8; 12) эллипса и расстояние r₁ = 20 от неё до левого фокуса;

7) точка M₁ (— ; 2) эллипса и расстояние между его дирек­трисами равно 10.

2.76. Определить эксцентриситет e эллипса, если:

1) его малая ось видна из фокусов под углом в 60°;

2) отрезок между фокусами виден из вершин малой оси под прямым углом;

3) расстояние между дирек­трисами в три раза больше рас­стояния между фокусами;

4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вер­шиной эллипса пополам.

2.77. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцен­триситет и уравнения директрис:

1) 5х² + 9у² — 30х + 18у + 9 = 0;

2) 16х² + 25у² + 32х — 100у — 284 = 0;

3) 4х² + 3у² — 8х + 12у —32 = 0.

2.78. Установить, какие линии определяются следующими урав­нениями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Изобразить эти линии на чертеже.