Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности

Пример1. По координатам вершин пирамиды найти

угол между ребром и плоскостью основания : .

; ; ; .

Решение: Найдем угол между ребром и плоскостью основания .

, , .

Ответ: .

Пример 2. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .

Решение: Координаты точки пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью являются решением следующей системы уравнений:

Решим эту систему методом Крамера:

,

,

,

,

, , .

Таким образом, точка пересечения прямой с данной плоскостью имеет координаты .

Ответ:

Пример 3. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

, .

Решение: Найдем точку , симметричную точке относительно плоскости , если

, . Составим сначала параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной плоскости. За направляющий вектор можно взять вектор с координатами :

, , .

Далее найдем точку пересечения полученной прямой с данной плоскостью:

,

,

,

, , .

Нашли точку , которая является серединой отрезка , поэтому

, , ,

, , ,

, , .

Ответ: .

Решить задачи:

2.151. Доказать, что прямая х=3t — 2, у = — 4t+1, z= 4t — 5

параллельна плоскости 4х — 3у — 6z — 5 = 0.

2.152. Доказать, что прямая

лежит в плоскости 4х — Зу + 7z — 7 = 0.

2.153. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

2.154. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

М₀ (2; -4; -1) и середину отрезка прямой

заключённого между плоскостями , ,

2.155. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М₀ (2; — 3; — 5) перпендикулярно к плоскости 6х — Зу — 5z + 2 = 0.

2.156. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1; —1; —1) перпендикулярно к прямой

,

2.157. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ (1; — 2; 1) перпендикулярно к прямой

2.158. При каком значении т прямая

,

параллельна плоскости

х — Зу + 6z + 7 = 0?

2.159. При каком значении С прямая

параллельна плоскости

2x—у + Сz —2 = 0?

2.160. При каких значениях А и D прямая

х=3 + 4t, у=1— 4t, z = — 3 +t

лежит в плоскости

Ах + 2у— 4z + D = 0?

2.161. При каких значениях А и В плоскость

Ах + Ву + Зz — 5 = 0

перпендикулярна к прямой

х = 3 + 2t, у = 5 —3t, z = — 2 — 2t?

2.162. При каких значениях t и С прямая

перпендикулярна к плоскости

Зх — 2у + Сz+1=0?

2.163. Найти проекцию точки Р(2; — 1; 3) на прямую

х=3t,, у=5t— 7, z = 2t + 2.

2.164. Найти точку Q, симметричную точке Р(4; 1; 6) относительно прямой

2.165. Найти точку Q, симметричную точке Р(2; —5; 7) относительно прямой, проходящей через точки M₁ (5; 4; 6) и М₂ (— 2; —17; —8).

2.170. Найти проекцию точки Р(5; 2; —1) на плоскость

2x-y+3z+23=0.

2.171. Найти точку Q, симметричную точке Р(1; 3; —4) относительно плоскости

Зх+у — 2z = 0.

2.172. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуM₁(1; 2; —3) параллельно прямым

,

2.173. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

x= — x=2t+1; y=-3t+2; z=2t-3

иточку M₁ (2; —2; 1).

2.174. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

, .

2.175. Найти точку Q, симметричную точке Р(3; —4; —6) относительно плоскости, проходящей через М₁ (— 6; 1; —5), М₂ (7; —2; —1) и М₁ (10; —7; 1).

2.176. Найти точку Q, симметричную точке Р(— 3; 2; 5) относительно плоскости, проходящей через прямые

2.177. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

перпендикулярно к плоскости Зх + 2у — z — 5 = 0.