Вимушені коливання

Припустимо, що на матеріальну точку масою m, крім пружної або квазіпружної сили і сили тертя, діє зовнішня вимушуюча сила, що змінюється за періодичним законом

F_з = F ₀sin W t,

де F ₀ – амплітуда, а W – циклічна частота вимушуючої сили. В цьому випадку рівняння руху матиме вигляд

ma = – kх – r + F ₀sinW t, або

. (3.53)

Загальний розв’язок диференційного рівняння (3.53) має ви­гляд

х = А sin(W t + j ₀), (3.54)

де А – амплітуда вимушених коливань, яка дорівнює

, (3.55)

а початкову фазу j ₀ визначають з рівності:

. (3.56)

Важливу формулу (3.55) для амплітуди А вимушених коливань можна отримати, скориставшись графічним мето­дом розв’язку неоднорідних диференційних рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. З формули (3.54) для зміщення х легко отримати вирази для похідних

,

.

Якщо намалювати “векторну” або “фазову” діаграму (мал. 3.25а), відклавши на ній амплітудні значення всіх доданків у рівнянні (3.53) з урахуванням зсуву їх фаз, то очевидно, що векторна сума трьох доданків у лівій частині (3.53) повинна дорівнювати амплі­тудному значенню виму­шу­­ючої сили, тобто . Звідси безпосередньо випливає формула (3.55) для амплітуди А, так само як і формула (3.56) для tg j.

Мал. 3.25а. Векторна діаграма для визначення амплітуди A і початкової фази j ₀.

Таким чином, якщо на тіло, яке коливається, діє зовніш­ня періодична сила з частотою W, то тіло здійснює коливан­ня з тією ж частотою, причому амплітуда коливань залежить від амплітуди і частоти зовнішньої сили, від коефіцієнта затухання, від пружних властивостей системи і маси тіла, яке коливається. Такі коливання називають вимушеними.