Вимушені коливання
Припустимо, що на матеріальну точку масою m, крім пружної або квазіпружної сили і сили тертя, діє зовнішня вимушуюча сила, що змінюється за періодичним законом Fз = F 0sin W t, де F 0 – амплітуда, а W – циклічна частота вимушуючої сили. В цьому випадку рівняння руху матиме вигляд ma = – kх – r
Загальний розв’язок диференційного рівняння (3.53) має вигляд х = А sin(W t + j 0), (3.54) де А – амплітуда вимушених коливань, яка дорівнює
а початкову фазу j 0 визначають з рівності:
Важливу формулу (3.55) для амплітуди А вимушених коливань можна отримати, скориставшись графічним методом розв’язку неоднорідних диференційних рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. З формули (3.54) для зміщення х легко отримати вирази для похідних
Якщо намалювати “векторну” або “фазову” діаграму (мал. 3.25а), відклавши на ній амплітудні значення всіх доданків у рівнянні (3.53) з урахуванням зсуву їх фаз, то очевидно, що векторна сума трьох доданків у лівій частині (3.53) повинна дорівнювати амплітудному значенню вимушуючої сили, тобто
Мал. 3.25а. Векторна діаграма для визначення амплітуди A і початкової фази j 0. Таким чином, якщо на тіло, яке коливається, діє зовнішня періодична сила з частотою W, то тіло здійснює коливання з тією ж частотою, причому амплітуда коливань залежить від амплітуди і частоти зовнішньої сили, від коефіцієнта затухання, від пружних властивостей системи і маси тіла, яке коливається. Такі коливання називають вимушеними.
|
+ F 0sinW t, або
. (3.53)
, (3.55)
. (3.56)
,
.
. Звідси безпосередньо випливає формула (3.55) для амплітуди А, так само як і формула (3.56) для tg j.
