Критерії механічної подібності рідин, що рухаються

Незважаючи на різноманітність руху рідин у природі, можна поставити питання: яким умовам повинні відповідати параметри потоку і параметри рідин (густина, в’язкість тощо), щоб рухи рідин були механічно подібні? Якщо подібність має місце, то, знаючи картину плину рідини в одній системі, можна передбачити і харак­тер плину рідини в іншій, геометрично подібній системі. Це має важливе значення не лише у техніці (випробування моделей літаків, кораблів тощо), а й в експериментальній медицині (напри­клад, при дослідженні процесів обтікання кров’ю різних моделей серцевих клапанів, особливостей плину рідин по штучних судинах, криволінійному ложеві насоса апарату штучного кровообігу тощо).

Розглядаючи будь-який плин рідин і рівняння його руху, можна ви­ділити деякі важливі параметри рідини (h – в’язкість, r – густина, χ; – модуль об’ємної пружності) і характеристики її руху (υ; – швид­кість, L – характерні розмі­ри, t – деякий характерний час, про­тя­гом якого відбувають­ся помітні зміни плину тощо). У гідро­ди­на­мі­ці відомі декілька безрозмірних величин, що являють собою ком­бі­на­цію цих параметрів. Це числа Рейнольдса (Re), Фруда (F), Маха (М), Струхаля (S). Кожне з цих чисел має певний фізичний зміст. Так, число Маха є відношенням швидкостей руху тіла і звука у даному середовищі (М = υ;/ c). Число Струхаля – відношення деякого характерного розміру пото­ку рідини і розмірів тіла (S = υ×t / L). Число Фруда (Ф = υ² / gL) визначає відношення кінетичної енергії рідин до її при­росту, обумовленого роботою сили тяжіння на деякій ха­рактер­­ній відстані (чим більше число Фруда, тим більша роль інерції у порівнянні з дією сили тяжіння).

Одним з найважливіших критеріїв подібності є число Рейноль­д­са. За порядком величини воно дорівнює відно­шенню кінетичної енергії рідини до витрати її, обумовленої роботою сил в’язкого тертя на характерній довжині. Дійсно, кінетична енергія рідини E_к ~ rL ³ υ;², робота сил в’язкості А = = F_т×L. Силу в’язкого тертя знайдемо за формулою Ньютона F_m ~ h×L ²× . Відношення кінетич­ної енергії Е_к до роботи А і становить число Рейнольдса:

Re = . (3.30)

Число Рейнольдса, таким чином, визначає відносну роль інерції і в’язкості рідини при її плині. При великих числах Рейнольдса головну роль відіграє інерція, при малих – в’яз­кість. При плині рідини по циліндричних трубках у ролі характерного розміру L часто використовують радіус чи діаметр судини. Потоки рідин вважаються подібними, якщо для них числа Рейнольдса і Фруда збігаються. При малих числах Рейнольдса плин в’язких рідин є ламінарним, при зростанні швидкості ламінарний плин стає нестійким і перетворюється в турбулентний. Турбулентний плин – це такий плин, гідродинамічні характеристики якого (швид­кість, тиск) різко та нерегулярно змінюються з часом і у просторі. Час­тинки рідини рухаються по складних траєкто­ріях, рідина інтен­сив­но перемішується. Прикладом такого руху є рух крові при її вигнанні з шлуночків серця, її плині по аорті тощо.

Слід зауважити, що при турбулентному русі рідини не діють звичайні формули гідродинаміки (гемодинаміки). Так, на відміну від закону Гагена–Пуазейля і формули Пуазейля, згідно з якими при ламінарному плині об’ємна швидкість Q чи лінійна швидкість υ; пропорційні різниці тисків υ; ~ у першому степені, при турбулентній течії рідини за певними умовами має місце закон Шезі, згідно з яким лі­ній­на швидкість . Для рідини, що тече по пев­ній судині, можна визначити значення швидкості υ_кр, при якій рух із ламінарного перетворюється у турбулентний. Число Рейнольдса, при якому відбувається це явище, зветь­ся критичним:

. (3.31)

У геометрично подібних системах перехід від ламінар­ного до тур­булентного плину відбувається завжди при од­них і тих самих зна­ченнях числа Рейнольдса. Так, згідно (3.31) критичне значення числа Re для в’яз­кої рідини, що тече по довгій циліндричній трубці, становить 2300. Значен­ня чисел Рейнольдса для крові в різних ділянках судинного русла подані у табл. 3.2.

Зауважимо, що зміна величини в’язкості крові (напри­клад, при анемії) може діагностуватися завдяки виникненню турбулентних шумів. Це пояснюється тим фактом, що при анемії коефіцієнт в’язкості зменшується у 2–3 і більше разів. Відповідно число Рейнольдса збільшується, оскільки Re ~ 1/ h. Як наслідок, число Рейнольдса стає більшим за своє критичне значення і виникає перехід від ламінарного плину крові до турбулентного.

Ще одне медичне застосування переходу між ламінар­ною і турбулентною течією крові пов’язане з вимірюванням кров’яного тиску методом Короткова. У цьому методі сис­то­ліч­ний (верхній) тиск вимірюється у момент, коли кров починає протискуватися через отвір в артерії, стиснутій за допомогою манжети. Саме у цей момент виникають шуми, обумовлені появою турбулентної течії крові. Діастолічний (нижній) тиск фіксується у момент, коли ці шуми зникають внаслідок послаблення манжети і переходу течії від ламі­нарної до турбулентної.