Затухаючі коливання і аперіодичний рух

Припустимо, що в розглянутих системах існує тертя чи опір, причому сила тертя (опору) пропорційна швидкості: F_т = – rυ;, де r – коефіцієнт тертя (опору). Запишемо в цьому випадку рівняння руху (ІІ закон Ньютона).

ma = – kх – rυ або .

Позначивши , , отримаємо диференційне рів­нян­ня другого порядку, що описує рух пружинного маят­ника у присутності сил тертя

. (3.49)

Складемо характеристичне рівняння, що відповідає ди­фе­рен­­цій­ному рівнянню (3.49):

.

Знайдемо корені характеристичного рівняння

. (3.50)

Зaгальний розв’язок рівняння (3.49) залежить від знака різниці . Розглянемо всі можливі випадки:

1. , коли корені характеристично­го рівняння є комплек­с­ни­ми числами (затухаючі коливання)

,

де – циклічна частота. У випадку комплексних коренів характеристичного рівняння загальний розв’я­зок (3.49) має вигляд

, або

, (3.51)

де – амплітуда коливань, яка зменшується за експо­ненці­ал­ьним законом, b – коефіцієнт затухання, визна­чає швидкість затухання амплітуди. Залежність х = f (t) для затухаючих коливань подано на мал. 3.23.

Мал. 3.23. Затухаючі коливання.

Ступінь затухання часто характеризують декрементом зату­хан­­­ня d і логарифмічним декрементом затухання l^*:

,

,

де період затухаючих коливань дорівнює

.

2. , коли корені характеристично­го рівняння є дій­с­ни­ми числами (аперіодичні коливання)

.

У цьому випадку загальний розв’язок рівняння (3.49) ма­тиме вигляд

, (3.52)

що відповідає аперіодичному рухові (мал. 3.24).

3. , коли корені є кратними. Легко побачити, що і в цьому випадку рух тіла буде аперіодичним.

Коливання, що виника­ють у системі при відсут­нос­ті зовнішніх сил, нази­ва­ють вільними. Частота віль­них коливань залежить як від пружних власти­востей сис­те­ми (w ₀), так і від інтен­сив­ності втрат (b). Якщо , то w @ w ₀ і період вільних коливань стає близьким до періоду власних коливань (мал. 3.23).