Хвильове рівняння. Поздовжні і поперечні хвилі

Припустимо, що хвильовий процес розповсюджується у додатному напрямку осі ОХ, а джерело коливань знахо­дить­­ся в площині, перпендикулярній до напрямку розпов­сюд­жен­ня, і коливаєть­ся за законом S (t) = A sin w t (мал. 3.29).

Мал. 3.29. Хвильовий процес.

Нехай υ; – швидкість розповсюдження хвильового про­це­су у середовищі. Через проміжок часу t = х / υ; хвильовий процес досягне точки В, яка знаходиться на відстані х від джерела коливань, і викличе коливання цієї точки через час t за законом:

S (x, t) = A sin w (t – t) = A sin w (t – x / υ;). (3.57)

Рівняння (3.57) – це рівняння плоскої хвилі. Величину називають фазою хвилі. Геометричне місце то­чок, які коливаються в однаковій фазі, утворює хвильову або фазову поверхню. Поверхня, до якої дійшла хвиля у деякий момент часу, називається фронтом хви­лі. У даному випадку фронт хвилі являє собою площину х = const, тому хвиля зветься плоскою. Форма хвильової поверхні визна­чається конфігурацією джерела коливань і властивостями середовища. В ізотропному середовищі від точкового дже­рела розповсюджується сферична хвиля, в якої хвильова повер­хня є сфера.

Під швидкістю розповсюдження хвилі розуміють швидкість роз­повсюдження фіксованої фази коливання. Дійсно, якщо = const, то після диференціювання цієї рівності отрима­ємо:

w (dt – dx / υ;) = 0,

звідки υ; = dx / dt.

Як відомо, довжина хвилі l дорівнює відстані, яку проходить хвиля за час, що дорівнює періоду коливань:

l = υ×T.

Враховуючи зв’язок між Т, υ;, w i l, рівняння (3.57) можна пода­ти у вигляді:

З рівняння плоскої хвилі випливає, що зміщення S = f (x, t), тобто хвиля має подвійну періодичність (як у просторі, так і у часі). Рівняння (3.57) є розв’язком диференційного рівнян­ня другого порядку у частинних похідних:

. (3.58)

Рівняння (3.58) являє собою одновимірне хвильове рівняння плоскої хвилі. Якщо яка-небудь фізична величина описується таким хвильовим рівнянням, то це означає, що вона розповсюджується в просторі у вигляді плоскої хвилі зі швидкістю υ;.