Мал. 4.25.
Оскільки за означенням I = dq/dt, після диференціювання за часом, одержимо диференційне рівняння електричних коливань:
Це рівняння виражає залежність сили струму від часу і є лінійним неоднорідним диференційним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами. Аналогічне рівняння можна отримати і для інших електричних величин (наприклад, заряду на конденсаторі q). Вільні гармонічні коливання. Якщо джерело має постійну в часі ЕРС, тобто de / dt = 0, то рівняння (4.66) стає однорідним. За аналогією з механічними коливаннями це є рівняння згасаючих коливань
За відсутності опору (R = 0) рівняння (4.67) перетворюється в рівняння вільних гармонічних коливань
Розділивши ліву частину цього рівняння на L, матимемо:
де w 0 – власна частота вільних електричних коливань w 0 = Рівняння (4.68) має своїм розв’язком гармонічну функцію I = I 0 sin(w 0 t + j 0). (4.70) Вираз, котрий стоїть під знаком синуса (або косинуса), називають фазою коливань j. У даному випадку j = w 0 t + j 0, де j 0 – початкова фаза. Мінімальний проміжок часу, через який фаза повторює своє значення, називається періодом коливань. Період власних коливань T = 2 p / w 0 = 2 p Ця формула носить назву формули Томсона. Із зменшенням індуктивності котушки L та ємності конденсатора С зменшується період коливань, а значить зростає їхня частота.
|
. (4.66)
= 0. (4.67)
.
, (4.68)
. (4.69)
. (4.71)
