Понятие о явлении потери устойчивости и критической силе

Из теоретической механики известно, что равновесие абсолютно твёрдого тела может быть устойчивым, безразличным и неустойчивым. Например, шар, лежащий на вогнутой поверхности (рис. 10.1, а), находится в состоянии устойчивого равновесия. Если ему сообщить небольшое отклонение от этого положения и отпустить, то он снова возвратится в своё исходное положение. Шар, лежащий на горизонтальной поверхности (рис. 10.1, б), находится в состоянии безразличного равновесия. Будучи отклонённым от этого положения, он в исходное положение не возвращается, но движение его прекращается. Наконец, шар, лежащий на выпуклой поверхности (рис. 10.1, в), находится в состоянии неустойчивого равновесия. Будучи отклонённым от первоначального положения, он продолжает двигаться дальше.

Аналогичные примеры можно привести и из области равновесия деформируемых тел. Так длинный стержень при действии сравнительно небольшой осевой сжимающей силы (меньше некоторого критического значения F_кр) находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 10.2, а). Если незначительно изогнуть его какой-нибудь поперечной нагрузкой (приложить малое возмущение), и затем эту нагрузку убрать, то стержень вновь распрямится, примет первоначальную прямолинейную форму равновесия.

 

По мере увеличения нагрузки стержень это делает все медленнее и медленнее. И наконец, при некоторой нагрузке F = F_кр (см. рис. 10.2, б) он замрет в близком, изогнутом положении равновесия даже после исчезновения причин, вызвавших это отклонение.

В этом случае говорят, что первоначальное прямолинейное положение равновесия является безразличным, поскольку наряду с прямолинейной формой равновесия стержня возможна и близкая к ней, изогнутая форма равновесия. Такое явление носит название бифуркации (раздвоение, ветвление) равновесных состояний.

При дальнейшем, даже весьма малом, увеличении нагрузки F > F_кр прямолинейное положение равновесия становится неустойчивым. Слегка отклоненный от вертикали стержень будет изгибаться и после исчезновения причин, вызвавших это отклонение, пока не займет положение равновесия, которому соответствуют уже значительные прогибы (см. рис. 2, в).

Переход стержня из устойчивого в неустойчивое положение равновесия называется потерей устойчивости. На практике потеря устойчивости стержня сопровождается качественным изменением вида деформации: деформация сжатия внезапно переходит в деформацию изгиба. Часто такой внезапный переход от прямолинейной формы равновесия к криволинейной называется выпучиванием стержня.

Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально-сжатого стержня также называется продольным изгибом.

Рассмотренная схема работы центрально сжатого стержня носит несколько теоретический характер. На практике приходится считаться с тем, что сжимающая сила может действовать с некоторым эксцентриситетом, а стержень может иметь некоторую (хотя и небольшую) начальную кривизну. По этой причине с самого начала продольного нагружения стержня, как правило, наблюдается его изгиб.

Исследования показывают, что, пока сжимающая сила меньше критической, прогибы стержня будут небольшими, но при приближении значения силы к критической они начинают быстро возрастать. Этот критерий (большое увеличение прогибов при малом увеличении силы) и может быть принят за критерий потери устойчивости.

Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня, называется критической F_кр.

С момента наступления критического состояния до момента разрушения деформации системы нарастают крайне быстро, и стержень либо разрушается, либо получает недопустимо большие деформации. В том и другом случае стержень практически выходит из строя, т. е. с точки зрения инженерного расчёта критическая сила должна рассматриваться как опасная (предельная) нагрузка. Таким образом, при расчете на устойчивость критическая нагрузка подобна разрушающей нагрузке при расчете на прочность.

Расчёт на устойчивость должен обеспечить работу элемента конструкции при первоначальной форме его упругого равновесия, т. е. при нагрузках меньших критических. Задача сводится к определению величины критической силы. Определив критическую силу, необходимо установить допускаемую нагрузку на сжатый стержень [ F ], гарантирующую работу на сжатие стержня без опасности возникновения продольного изгиба:

[ F ] = F_кр /[ n _у],

где [ n _у] – заданный (требуемый, нормативный) коэффициент запаса устойчивости.

Величина требуемого коэффициента запаса устойчивости принимается такой, чтобы была обеспечена надёжная работа стержня, несмотря на то, что действительные условия его работы могут быть менее благоприятны, чем условия, принятые для расчёта (из-за неоднородности материалов, неточности в определении нагрузок и т.д.). При этом величина коэффициента запаса устойчивости принимается несколько большей величины коэффициента запаса прочности, так как учитываются дополнительные неблагоприятные обстоятельства: начальная кривизна стержня, эксцентриситет действия нагрузки и др.

Так, для стальных стержней принимают: в строительных конструкциях [ n _у] = 1,7…2,0, для элементов машиностроительных конструкций, например, для ходовых винтов металлорежущих станков, [ n _у] = 3,5…5,0. Для чугунных стержней в среднем [ n _у] = 5,0; для деревянных - [ n _у] = 3,0,

При этом условие устойчивости можно записать в следующем виде:

F_max ≤ [ F ],

или в напряжениях: σ _max ≤ [σ_у ] = [ F ]/ A.

Потеря устойчивости первоначальной формы упругого равновесия при достижении нагрузкой критического значения характерна не только для сжатых стержней, но и для других элементов конструкций. Например, при сжатии кольца или тонкой оболочки радиально направленными силами (рис. 10.3, а) при некотором их критическом значении круговая форма оси кольца становится неустойчивой, и оно приобретает эллиптическую форму. Характер деформации кольца существенно изменяется: при нагрузке, меньшей критической, кольцо работает на сжатие, а после потери устойчивости – на сжатие и изгиб.

Консоль вытянутого прямоугольного сечения, работающая на прямой изгиб в плоскости наибольшей жёсткости (рис. 10.3, б), при критическом значении изгибающей силы закручивается и вместо изгиба испытывает совместный изгиб и кручение. Этот случай называют потерей устойчивости плоской формы изгиба.