Формула Эйлера для критической силы

Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень, сжатый продольной силой F (рис. 10.4). Положим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M:

M = −Fy,

где y – прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x.

При шарнирном опирании концов стержня продольный изгиб произойдёт в плоскости наименьшей жёсткости, т. е. поперечные сечения будут поворачиваться вокруг оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение I_min. В этом легко убедиться, сжимая гибкую линейку.

Предположим, что деформации малые и напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности σ;_пц. Тогда для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии:

EI_minу"= M_изг,

где у" = d ² y / dx ².

Учитывая противоположные знаки для изгибающего момента и прогиба, имеем:

EI_minу" = -Fy. (10.1)

В самом деле, если стержень изогнут, как показано на рис. 10.4, то М >; 0, а у <; 0, если стержень изогнут в другую сторону, то знаки меняются на противоположные.

Введя обозначение:

F/(EI_min) = k², (10.2)

перепишем формулу (10.1):

у"; + k² у = 0.

Общее решение полученного однородного дифференциального уравнения представляется функцией

y = C ₁ sin kx +C ₂ cos kx. (10.3)

Это решение содержит три неизвестные: постоянные интегрирования С ₁ и С ₂ и параметр k. Найдем эти величины из граничных условий – условий закрепления стержня по концам:

а) при x = 0 прогиб в опоре (точка A) должен быть равен нулю y = 0,

тогда из уравнения (10.3) получим, что С ₂ = 0, при этом формула приобретает вид:

y = C ₁ sinkx. (10.4)

Уравнение (10.4) указывает на то, что при продольном изгибе изогнутая ось стержня может быть представлена как некоторое число волн синусоиды с амплитудой C ₁.

б) при x = l прогиб в другой опоре (точка B) должен быть также равен нулю y = 0, тогда из уравнения (4) получим, что C ₁ sin kl = 0.Согласно постановке задачи, коэффициент C ₁ заведомо не равен нулю (иначе равен нулю прогиб балки во всех точках, что противоречит постановке задачи). В этом случае получаем

sinkl = 0.

Из свойств синусоиды следует, что

k = n π/l, (10.5)

где n – произвольное целое число, которое представляет собой число полуволн синусоиды, укладывающихся на длине изогнутой оси стержня (n ≠ 0, если n = 0, то k = 0 и F = 0, в соответствии с (10.2)).

Решая совместно уравнения (10.2) и (10.5),получим выражение для некоторых фиксированных значений сжимающей силы, при которых возможна криволинейная форма равновесия оси стержня

F= n ² π;² EI_min /(l ²).

Как видим, минимальное значение критическая сила примет при n = 1 (на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды)

F= π;² EI_min /(l ²). (10.6)

Это выражение обычно называют ф о р м у л о й Э й л е р а, а определяемую с ее помощью критическую силу – э й л е р о в о й с и л о й.

Критической силе, определяемой по формуле (10.6), соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной:

y = sin (πz/l).

Следует отметить, что постоянная C ₁, а, следовательно, и форма изогнутой оси стержня остались неопределёнными.

Если применить для исследования продольного изгиба не приближённое, а точное дифференциальное уравнение изогнутой оси, то оказывается возможным определить не только величину критической силы, но и зависимость между сжимающей силой и прогибом стержня.