Свойства функции F(x) (самостоятельно)

Значения интегральной функции принадлежат отрезку [0;1], т.е. 0£F(x) £1 (6)

Доказательство:

Так как по определению F(x) - это вероятность Р(Х<х), а вероятность всегда есть число неотрицательное, не превышающее 1.

F(x)- функция неубывающая, т.е. F(x2) ³ F(x1), если x2 > x1

Доказательство:

Рассмотрим событие Х<х2. Оно может быть представлено в виде суммы двух несовместных событий, т.е. (или Х<х1, или х1£Х<х2).

 

 

х1£Х<х2

Применим теорему сложения вероятностей для несовместных событий.

Р (Х<х2)= Р (Х<х1)+ Р (х1£Х<х2)

отсюда

Р (Х<х2)-Р (Х<х1)=Р (х1£Х<х2) или F(x2) -F(x1) = Р (х1£Х<х2) (*)

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то:

F(x2) -F(x1)³ 0 или F(x2) ³ F(x1).

Следствие 1. Вероятность попадания СВ Х в заданный интервал.

Вероятность того, что СВ Х примет значение, заключенное в интервале ] a;b [,равна приращению интегральной функции на этом интервале, т.е. P(α£X<b)=F(b)-F(α) (7)

Это следует из равенства (*) при Х1 = a Х2= b.

Следствие 2

Вероятность того, что непрерывная СВ примет одно определенное значение, равна нулю, т.е. (8)

Доказательство:

Пусть Х- непрерывная СВ. Рассмотрим формулу 7 следствия 1:

Р(a £ Х<b) = F(b)- F(a).

Пусть a=х1, а b= х₁+ Dх. Тогда Р(х₁ £ Х < х₁+ Dх)= F(x₁+ Dх) -F(x₁).

Пусть Dх®0. Так как Х- непрерывная СВ, то функция F(x)- непрерывная. В силу непрерывности F(x) в точке х₁ разность F(x₁+ Dх) -F(x₁) будет ®0 и, следовательно, [F(x₁+ Dх) -F(x₁)]=0; а Р(х₁ £ Х < х₁+ Dх)=Р (х=х₁). Итак, Р (х=х₁)=0.

В принципе, для дискретной СВ можно указать вероятность появления каждого ее значения, а для непрерывной СВ это сделать нельзя. Допустим, требуется определить вероятность того, что расход топлива на 100 километров пути составит точно 12 литров. Однако в зависимости от типа трассы, технического состояния автомобиля, качества топлива и многих других факторов расход горючего абсолютно точно измерить нельзя. Количество бензина, расходуемого на 100 км. пути от заправки к заправке будет немного меняться. Вероятность того, что это будет точно 12 литров практически равна нулю.

Р(Х) =0

Используя это положение, убедимся в справедливости равенства.

Р(a £ Х<b)= Р(a < Х<b) = Р(a<Х£ b) = Р(a £ Х£ b) (9)

Например, докажем, что:

1) Р(a<Х£ b)= Р(a < Х<b)

Р(a<Х£ b) = Р(a < Х<b) + Р (Х=b=0) = Р(a < Х<b)

2) Р(a £ Х<b) = Р(х=a =0)+ Р(a < Х<b)= Р(a < Х<b).

При определении вероятности того, что НСВ попадет в интервал, можно не делать различия между случаями, когда концы интервала принадлежат или н принадлежат интервалу.

Если возможные значения СВ принадлежат отрезку [a;b], то: 1) F(x) =0 при х £ a 2) F(x) =1 при х> b.

Доказательство:

 

интервал

возможных

значений

Пусть СВ Х<a, тогда событие (Х<х)=Æ, т.е. Р(Х<х)= F(x) =0.

Пусть СВ Х> b, тогда событие (Х<х)=W и Р(Х<х)= F(x) = 1.

Следствие:

Если возможные значения непрерывной СВ расположены на всей оси ОХ, то справедливы следующие предельные соотношения:

 

F(x) =0; F(x) =1

(10)

или

F(-¥)= 0, (10’)

так как событие (Х<-¥) = Æ и

F(+¥)=1, (10”)

Так как событие (Х<+¥)=W.

 

 

Вероятность того, что СВ Х примет значение, большее или равное х, равна разности между единицей и функцией распределения при этом значении х. т.е. Р (Х³х)=1 - F(x) (11)

Доказательство:

События (Х³х) и (Х<х)- противоположные, поэтому

Р (Х³х)+ Р(Х<х)=1

Р (Х³х) =1- Р(Х<х), т.е. Р (Х³х) =1- F(x)