Свойства дисперсии дискретной случайной величины

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, то есть

 

D (c) = 0 (21)

 

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, то есть

D(cX) = c²D(X), (22)

где c - постоянная величина

3. Дисперсия суммы (разности) конечного числа n независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, то есть

D(X₁ Х₂ ± ¼ ± Х_n) = D(X₁) ± D(Х₂ ) ± ¼ ± D(Х_n) (23)

 

4. Если X₁, X₂,..., X_n - одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсия каждой из которых равна s², то дисперсия их суммы равна ns², а дисперсия средней арифметической равна s²/n, то есть

D(X) = s²/n (24)

 

Для вычисления дисперсии проще пользоваться другой формулой, которая получается из формулы (20) путем несложных математических выкладок.

D(X)=M[(X-M(X))² ]=М[Х²-2М(Х)Х+(М(Х))²]=М(Х)²-2М(Х)М(Х)+ +(М(Х))²=М(Х²)-[М(Х)]²=М(Х²)-М²(Х)

Формула для упрощенного вычисления дисперсии дискретной случайной величины

s² = D(X) = М(Х²) - М²(Х) (25)

 

Вычислим дисперсию случайной величины для примера 1, используя этот способ. Результаты оформим в виде рабочей таблицы.

 

х	Р(х)	хР(х)	х2Р(х)
	0,1
	0,2	0,2	0,2
	0,3	0,6	1,2
	0,2	0,6	1,8
	0,1	0,4	1,6
	0,1	0,5	2,5
å	1,0	М(х)=2,3	М(х2)= 7,3

Первая колонка в таблице - значения Х, вторая колонка - вероятности этих значений, третья есть результат произведения первой колонки на вторую и четвертая есть результат произведения первой колонки на третью (потому что х²Р(х) получается умножением х на х(Р(х)). Сумма значений третьей колонки дает ожидаемое среднее значение Х, а сумма значений четвертой колонки - ожидаемое среднее значение Х². Затем, чтобы получить дисперсию Х, мы вычисляем разность М(Х²) - [М(Х)] ²

D(X) = М(Х²) - [М(Х)] ² = 7,3 - (2,3)² = 2,01

Результат совпал с тем, что мы получили, используя формулу (20).

Среднее квадратическое отклонение (стандартное) отклонение дискретной случайной величины равно корню квадратному из дисперсии, обозначается как s или S(X)

s = (26)

Для примера 1 среднее квадратическое отклонение есть:

s= =1,418.

В чем смысл дисперсии и среднего квадратического отклонения? Как мы можем интерпретировать их значения? По определению s² - средний квадрат отклонения значений случайной величины от математического ожидания. Отсюда следует, что это мера рассеяния всех возможных значений случайной величины относительно среднего ожидаемого значения. Дисперсия характеризует колеблемость, изменчивость случайной величины: чем больше вариация, тем дальше от средней находятся возможные значения случайной величины. Для содержательной интерпретации зачастую полезно применять значение, которое дает корень квадратный из дисперсии - среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение). Если сравнивают две случайные величины, то та из них, которая имеет большую дисперсию и среднее квадратическое отклонение, более вариабельна. Риск, ассоциируемый с инвестициями, часто измеряют стандартным отклонением возврата инвестиций. Если сравниваются два типа инвестиций с одинаковой ожидаемой средней возврата, то инвестиции с более высоким средним квадратическим отклонением считаются более рискованными (хотя более высокое стандартное отклонение предполагает возврат более вариабельный с обеих сторон - как ниже, так и выше средней).

[1] Дискретные случайные величины называются одинаково распределенными, если у них одинаковые ряды распределения, а, следовательно, и одинаковые числовые характеристики