Или интегральный закон распределения)

 

Задание закона распределения СВ в виде ряда распределения не всегда приемлемо, потому что для НСВ множество её возможных значений бесконечно и сплошь заполняет некоторый промежуток. Кроме того, как будет показано в дальнейшем для НСВ Р(Х=х)=0, то есть отдельное значение НСВ обладает нулевой вероятностью. Это означает, что все значения НСВ, образующие бесконечное множество, имеют одинаковую и равную нулю вероятность.

Как быть? Несмотря на равенство нулю отдельных значений НСВ, можно находить вероятности её значений в различных интервалах, в которых она обладает различными и отличными от нуля вероятностями.

Таким образом, для НСВ также можно определить закон распределения вероятностей, но в ином, чем для ДСВ виде.

Для количественной характеристики распределения НСВ Х рассматривают не вероятность события (Х=х), а вероятность события (Х<х), где х - произвольное действительное число (т.к. Р(Х=х)=0, но это будет доказано позже).

Для нас представляет интерес вероятность события, состоящего в том, что в результате опыта СВ Х приняла значение, которое оказалось меньше фиксированного х. Если х изменяется произвольно, то и вероятность выполнения неравенства Х<x в общем случае будет изменяться. Следовательно, вероятность Р(Х<x) является функцией аргумента х. Обозначим эту функцию как F(x).

Функцией распределения (интегральной функцией распределения) называется функция F(х), определяющая для каждого значения х вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее х, т.е. F(x)= P (X<x) (4) геометрически:

F(x) - есть вероятность того, что случайная точка Х окажется левее фиксируемой точки.

Итак, СВ Х можно рассматривать как случайную точку на числовой оси.

Пусть на оси выбрана конкретная точка х, тогда в результате опыта случайная точка Х может оказаться левее или правее выбранной нами точки. Очевидно, что вероятность того, что случайная точка Х окажется левее точки х будет зависеть от положения точки х, то есть являться функцией аргумента х.

Для ДСВ Х, которая может принимать значения х1, х2,...,хn, функция распределения примет вид

(5)

Где неравенство х_i<x под знаком суммы означает, что суммирование касается тех значений х_i, величина которых меньше х.

Поясним эту формулу, исходя из определения F(x). Предположим, что аргумент х принял какое-то определенное значение, но такое, что выполняется неравенство . Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те значения, которые имеют индекс 1,2,3,… ,i. Поэтому неравенство X<x выполняется, если величина Х примет значение x_{k ,} где k=1,2,3,…,i. Таким образом, событие X<x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий X=x₁, X=x₂, X=x₃, …, X=x_i. Так как эти события несовместные, то по теореме сложения вероятностей имеем .

Функция распределения (интегральная функция распределения) существует как для дискретных, так и для непрерывных СВ. F(х) является универсальной формой закона распределения.

 

(*) СВ Х называется непрерывной, если ее F(x)- непрерывная, кусочно дифференцируемая функция с непрерывной производной.

 

Построим функцию распределения, ряд которой представлен в (2), то есть

Хi	х1	х2	....	(2) хn
Рi	р1	р2	....	Рn

 

при
при
при
при
…	…
при
при

 

Для примера 1 построим функцию распределения случайной величины Х - числа рекламных объявлений.

 

хi	0	1	2	3	4	5	()
pi	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,1

 

при

Случайная величина Х не принимает значений, меньших 0. Следовательно, если х 0, то событие Х < х - невозможно, а вероятность его равна нулю. Поэтому функция распределения случайной величины Х для всех значений х 0 также равна 0.

При х £ 0 имеем F(x) =0, т.к. F(x)= Р (х<0)=0;

При 0<х £1 имеем F(x) = Р (х<1)=Р (х=0)=0,1;

При 1<х£2 имеем F(x) = Р (х<2)=Р(или 0, или 1)=Р(х=0)+ Р(х=1)=0,1+0,2=0,3;

При 2<х£3 имеем F(x) = Р (х<3)=Р(или 0, или 1, или 2)= 0,1+0,2+0,3=0,6.

При 3<х£4 имеем F(x) = Р (х<4)=Р(или 0, или 1, или 2, или 3)= 0,1+0,2+0,3+0,2=0,8.

При 4<х£5 имеем F(x) = Р (х<5)=Р(или 0, или 1, или 2, или 3, или 4)= 0,1+0,2+0,3+0,2+0,1=0,9.

При х>5 F(x) =Р (х>5)= Р(или 0, или 1, или 2, или 3, или 4, или 5)= 0,1+0,2+0,3+0,2+0,1+0,1=1,0.

 

Запишем ее в табличной форме.

Таблица 3

Функция распределения (интегральная функция распределения) для примера 3

x	x£0	0<х 1	1<x 2	2<х 3	3<х 4	4<х 5	x>5
F(x)		0,1	0,3	0,6	0,8	0,9

или F(x) можно аналитически записать так:

F(x)=

Изобразим график построенной функции:

 

 

Рис2

Рис.2 показывает, что интегральная функция - неубывающая и равна единице при х большем наибольшего возможного значения случайной величины. В нашем примере график F(x) имеет ступенчатый вид.

Для ДСВ график представляет собой разрывную ступенчатую линию. Когда переменная Х проходит через какое-либо из возможных значений СВ, значение функции распределения меняется скачкообразно, то есть функция имеет скачок в тех точках, в которых СВ принимает конкретное значение согласно ряду распределения, причем величина скачка равна вероятности этого значения. Сумма величин всех скачков равна 1. В интервалах между значениями СВ функция F(x) постоянна.