Случайной величины

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной

М(с) = с (13)

 

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то есть

М(сХ) = сМ(Х) (14)

 

где с - постоянная величина

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа n случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий, то есть

М(Х₁±X₂± ×××±X_n) = М(Х₁) ± М(X₂) ± ×××± M(X_n) (15)

 

4. Математическое ожидание произведения конечного числа n независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то есть

 

М(Х₁ ×X₂ ×××X_n) = М(Х₁) × М(X₂) ××× M(X_n) (16)

 

5. Если все значения случайной величины Х уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то ее математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число с, то есть

 

М(Х - С) = М(Х) - С (17)

 

Следствие. Математическое ожидание отклонений значений случайной величины Х от ее математического ожидания равно нулю, то есть

М[Х - М(Х)] = 0 (18)

6. Математическое ожидание среднего арифметического значения n одинаково распределенных взаимно независимых [1] случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин, то есть

М(X) = М(Х _i ) (19)

Пусть Х₁ , Х₂,..., Х _n - одинаково распределенные случайные величины, математические ожидания каждой из которых одинаковы и равны . Тогда математическое ожидание их суммы равно n× и математическое ожидание средней арифметической равно

M(X) = 1/n× M(X₁ + X₂ +... + X_n) = n /n =

M(X) = a

Пример 6. В книжном магазине организована лотерея. Разыгрываются две книги стоимостью по 10 рублей и одна - стоимостью в 30 рублей. Составьте закон распределения суммы выигрыша для посетителя магазина, который приобрел два билета стоимостью по 1 руб, а также найдите математическое ожидание суммы выигрыша и убедитесь в справедливости формулы М(Х+У) = М(Х) + М(У).

Сумма выигрыша на первый и второй билеты лотереи с учетом затрат на их приобретение являются случайными величинами, которые обозначим соответственно Х и У. Это одинаково распределенные случайные величины. Сумма выигрыша для посетителя, который приобрел два билета, является случайной величиной. Она представляет собой сумму случайных величин Х и У, которые являются зависимыми. Для нахождения закона распределения случайной величины Х + У рассмотрим различные возможные исходы лотереи.

Расчеты оформим в следующей таблице.

Таблица 5

Х	У	Х + У	Вероятность результата
-1	-1	-2	· =
-1			· =
-1			· =
	-1		· =
			· =
			· =
	-1		· =
			· =
			· = 0

 

При нахождении вероятностей соответствующих результатов применяется теорема умножения вероятностей для зависимых событий. Например, случайная величина Х+У примет значение - 2 руб., если покупатель не выиграет ни на первый билет, ни на второй билет. Вероятность не выиграть на первый билет лотереи равна , на второй при условии, что первый билет не выиграл, - .

По теореме умножения получаем вероятность не выиграть на оба билета. Вероятность выиграть на оба билета книги по 30 руб оказывается равной 0, так как имеется лишь один такой выигрыш.

Таким образом, случайная величина Х+У может принимать следующие значения: -2, 8, 18, 28 и 38 руб.

Ее закон распределения имеет вид:

Сумма выигрыша в руб.	-2
Вероятность	1081/1225	94/1225	1/1225	47/1225	2/1225

 

Вероятности Р(Х+У=8), Р(Х+У=28) и Р(Х+У = 38) получаем, используя теорему сложения вероятностей.

Найдем математическое ожидание Х+У:

М(Х+У) =(-2) +8 +18 +28 +38 =0

М(Х)=М(У) =-1 × 0,94+9×0,04+29×0,02=(-1)× +9× =0

Следовательно, М(Х+У) = М(Х) + М(У)