Степенные ряды. Определение 5. Функциональный ряд вида

Определение 5. Функциональный ряд вида

, (10)

где последовательность вещественных чисел, называется степенным рядом, а – коэффициентами степенного ряда.

Сразу отметим, что (10) сходится всегда в точке . Рассмотрим верхний предел .

Обозначим . Будем считать, что если , то , а если , то .

Теорема 8. (Коши-Адамара). Степенной ряд абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих условию . Если конечное число, то он расходится .

‰ Пусть – конечный, и выполняется неравенство , тогда

.

Выберем число такое, что

.

Из определения верхнего предела следует, что неравенство может не выполниться лишь для конечного числа номеров . Поэтому существует такой номер , что выполняется

,

или

, при . (11)

По признаку сравнения из (11) следует абсолютная сходимость ряда (10). Так как ряд сходится, как геометрическая прогрессия , то ряд тоже сходится, по признаку Вейерштарсса.

Пусть теперь , тогда и получаем . Выберем число , такое, чтобы

. (12)

В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность сходящаяся к . Тогда из определения предела и неравенства (12) следует, что существует такой номер , что при выполняется . Откуда

и, следовательно, при , т.е. нарушено необходимое условие сходимости ряда. ■

Итак, если предел конечен, то степенной ряд абсолютно сходится при и расходится при .

(13)

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Формула (13) называется формулой Коши - Адамара.

Из теоремы следует, что при ряд сходится только в одной точке . При ряд сходится в интервале , а при ряд сходится для . Таким образом, областью сходимости степенного ряда является интервал. В граничных точках и ряд может и сходится и расходится, поэтому требуется дополнительное исследование. Формулу (13) используют для нахождения радиуса сходимости степенного ряда. Для определения интервала сходимости на практике часто также удобно использовать признак Даламбера для ряда составленного из модулей членов исходного степенного ряда.

Пример 15. Найти интервал сходимости ряда .

Решение. Найдем величину радиуса сходимости.

,

 

.

Так как , то . Таким образом, интервал сходимости ряда используем сходимость на концах интервала. При получаем числовой ряд , а при оба ряда сходятся, причем первый сходится абсолютно, как обобщенный гармонический ряд.

Теорема 9. (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится для .

‰ Пусть – радиус сходимости ряда (10). Тогда . Это так, потому что, если , то по теореме 8 степенной ряд расходится в точке , что противоречит условию. Итак .

В силу теоремы 8 ряд (10) сходится при , а следовательно и при . <

Теорема10. (о равномерной сходимости степенного ряда). Степенной ряд (10) равномерно сходится на любом отрезке , содержащимся в интервале сходимости.

‰ Поскольку отрезок содержится в интервале сходимости степенного ряда, то в силу теоремы 8 ряд (10) сходится абсолютно в точке , т.е. числовой ряд – сходится.

Для выполняется , но так как – сходится, то по признаку Вейерштрасса равномерно сходится ряд (10) на . <

Теорема 11. Степенной ряд (10) можно почленно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости.

‰ Степенной ряд

, (14)

полученный дифференцированием, имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (10). Действительно,

.

Отсюда в силу формулы Коши-Адамара следует, что ряды (10) и (14) имеют одинаковые радиусы сходимости. Пусть принадлежит интервалу сходимости. Выберем отрезок так, чтобы . По теореме 10 ряд сходится равномерно на и в силу теоремы его можно почленно дифференцировать на , а, следовательно, и в интервале сходимости. Аналогично доказывается возможность интегрирования. <

Это теорема используется для представления функций в виде степенных рядов.

Пример 14. Найти разложение в ряд по степеням функции .

Решение. Найдем производную, а затем проинтегрируем в интервале сходимости.

, при .

, .

Пример 15. Найти разложение функции в степенной ряд.

Решение. Запишем сумму бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем

.

Проинтегрируем левую и правую части этого равенства в интервале сходимости

.

Получили представление функции по степеням в интервале .