Сходимость функциональных последовательностей и рядов

Глава 12. Функциональные ряды

Пусть последовательность функций, каждая из которых определена на некотором подмножестве . В этом случае говорят, что на множестве задана функциональная последовательность . Например:

,

.

Аналогично, если задан ряд , каждый член которого является функцией, определенной на множестве , то говорят, что на множестве задан функциональный ряд. Например, , .

Определение 1. Функциональная последовательность называется схдящейся на множестве к функции , если последовательность сходится к , т.е. такое, что выполняется для .

Обозначается . Эта сходимость называется монотонной, т.е. сходимостью в каждой точке множества.

Определение 2. Функциональный ряд называется сходящимся намножестве к функции , если последовательность его частных сумм сходится к функции на множестве , которое называется областью сходимости ряда.

, .

Функция называется суммой функционального ряда.

Один из основных вопросов, рассматриваемых в теории функциональных рядов – нахождение области сходимости функционального ряда.

Пример 1. Найти область сходимости следующих рядов:

а) ; б) ; в)

Решение. а) – бесконечная геометрическая про- грессия. На множестве X=(-1,1) ряд сходится, причем .

б ) По признаку Даламбера ряд сходится для . Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно для .

в) По признаку Коши = Откуда следует, что х>4. Областью сходимости является множество X=(4,+ ).

Кроме поточечной сходимости , есть также другой тип сходисти, которая называется равномерной сходимостью на множестве.

Определение 3. Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве к функции , если такое, что и выполняется . Обозначается .

Определение 4. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве к функции , если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на к .

Сравним между собой оба типа сходимости. Пусть ряд сходит- ся для . Это означает, что каждому будет соответствовать свой числовой ряд, для сходимости которого , определенное в каждой точке. В общем случае значение будет меняться от точки к точке, т.е. . При равномерной сходимости требуется, чтобы для выбранного число не зависело от и было одним и тем же для .

Отсюда следует важный вывод: если последовательность (ряд) равномер но сходится на , то последовательность (ряд) просто сходятся на . Обратное утверждение неверно.

Пример 2. Проверить сходимость последовательности , .

Решение. Понятно, что , т.е. последовательность сходится. Однако эта сходимость будет неравномерной. Действительно, возьмем . Найдется ли такое, что для и выполняется неравенство ? Выполнение этого неравенства для всех точек невозможно, так как при х близких к 1 , потому что . Таким образом, последовательность сходится, но неравномерно.

Пример 3. Рассмотрим ряд . Он сходится на . Покажем, что он сходится неравномерно.

Решение. Последовательность частичных сумм сходится к при . Поэтому для такое, что для . Однако для это невозможно, так как при функция принимает любое, как угодно большое значение. Ряд сходится, но неравномерно.

Теорема 1. (критерий Коши). а) Для того, чтобы последовательность равномерно сходилась на множестве необходимо и достаточно, чтобы для таких, что для и выполнялось

; (1)

б) Для того, чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для таких, что для и выполнялось , или, если обозначить , то

, (2)

Доказательство выполним для последовательностей.

‰ Необходимость. Пусть равномерно сходится к на . Зададим , тогда , что и .

Возьмем , тогда для имеем

, т.е. выполняется (1).

Достаточность. Пусть выполняется условие теоремы а), т.е. для такие, что для и выполняется . Это означает, что для числовая последовательность фундаментальная, а, следовательно, она сходится. Положим . Перейдем к пределу в неравенстве при . Тогда получим, что для выполняется неравенство , т.е. сходится равномерно к на , при . <

Пример 4. Исследовать сходимость ряда на интервале .

Решение. Неравенство , , показывает, что последовательность сходится к нулю равномерно на , но в тоже время для любого значения ряд расходится.

Теорема 2. (Признак Вейерштрасса). Пусть для и выполняются неравенства и числовой ряд сходится. Тогда функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве .

‰ Так как числовой ряд сходится, то для него выполняется критерий Коши, т.е. , что выполняется для

Возьмем и , тогда для имеем

, ,

т.е. выполняется критерий Коши (2). Ряд сходится равномерно и абсолютно по признаку сравнения. ■

Замечание. Ряд в теореме 2 называется мажорантой для ряда , а саму теорему 2 часто называют мажорантным признаком сходимости.

Пример 5. Доказать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим ряд . Этот ряд сходится абсолютно, т.к. по признаку сравнения . Поэтому исходный ряд абсолютно и равномерно сходится .

Пример 6. Исследовать сходимость ряда на отрезке .

Решение. Первое слагаемое в сумме принимает наибольшее значение в точке , второе в точке . Следовательно, для всех имеем, что , и в силу признака Вейерштрасса получаем, что данный ряд сходится равномерно на .

Признак Вейерштрасса дает только достаточное условие. Непосредственно из определения вытекает необходимый и достаточный признак равномерной сходимости, которым удобно пользоваться на практике.

Теорема 3. Для того чтобы функциональная последовательность равномерно сходилась на множестве к предельной функции необходимо и достаточно, чтобы

, (3)

где , .

‰ Необходимость. Пусть при . Так как по определению неравенство выполняется для и при , то при таких будет справедливо . Отсюда следует, что при .

Достаточность. Пусть при . Это означает, что для при достаточно больших будет выполняться , тогда тем более для всех и будет выполняться . А это означает равномерную сходимость. <

Теперь, пользуясь этой теоремой и определением равномерно сходящегося функционального ряда, можно сформулировать необходимое и достаточное условия равномерной сходимости ряда: для того, чтобы функциональный ряд сходился к на необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность равномерно сходилась к нулю, т.е. .

Пример 7. Исследовать сходимость .

Решение. Ранее было показано, что сходимость есть, но она неравномерная. Это же самое получается более просто по теореме 3:

.

При этом не стремится к 0 при , поэтому сходимость неравномерная.

Пример 8. Сходится ли равномерно последовательность , .

Решение. Сначала проверим существование предельной функции .

при , .

Таким образом, . Рассмотрим

,

где .

Найдем , т.е. наибольшее значение на . Вычислим значения на концах интервала

и

и в критических точках. Продифференцируем :

.

при , откуда .

При этом берем только . Тогда . Поэтому при . Следовательно, при на . Последовательность равномерно сходится на .

Пример 9. Проверить сходимость ряда , .

Решение. Прежде всего, отметим, что в указанном промежутке ряд сходится по признаку сравнения, так как он знакоположительный, и существует сходящийся ряд для , так что выполняется условие .

Рассмотрим остаток и найдем его сумму. Так как , то т -я частичная сумма остатка будет

, при .

Т.е. . Тогда при . Таким образом, на ряд сходится неравномерно. На любом промежутке , где сходимость равномерная, т.к.

при .

Пример 10. Исследовать на равномерную сходимость ряд на .

Решение. Так как , , то оценка не дает сходящегося мажорантного ряда. Найдем . Поскольку , то , следовательно, , и в силу признака Вейерштрасса ряд сходится равномерно на .