Тригонометрические ряды Фурье

Функциональная последовательность

,

называется основной тригонометрической системой (ОТС).

Функциональная последовательность

,

где , называется тригонометрической системой общего вида.

Лемма. Основная тригонометрическая система ортогональна на отрезке , т.е. выполняются следующие равенства:

, , , , , при .

, , при .

Тригонометрическая система общего вида ортогональна на , т.е.

; ; ;

, при

, , при ;

‰ Справедливость этих равенств устанавливается непосредственным интегрированием, применением формул

,

,

,

,

.

Ясно, что по функциональной последовательности, состоящей их основной тригонометрической системы, можно построить функциональный ряд вида

(20)

Этот ряд называется тригонометрическим рядом по ОТС.

Функциональный ряд по тригонометрической системе общего вида следующий

(21)

Каждое слагаемое тригонометрического ряда называется гармоническимколебанием или гармоникой, и его можно записать в виде

,

где – амплитуда, – частота, – начальная фаза.

Любая частичная сумма ряда имеет период , т.к. входящие в нее функции имеют период . Если ряд сходится на отрезке , то он сходится на всей числовой прямой. Его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, также является периодической функцией с периодом . Поэтому тригонометрические ряды удобны для изучения периодических процессов в природе и технике: колебательные и вращательные движения различных деталей машин, движение небесных тел и элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания, радиотехнические сигналы и т.п.

Если сумма ряда (20) на некотором множестве , то можно выразить коэффициенты ряда и через .

Теорема 14. Если тригонометрический ряд (20) равномерно сходится на всей числовой прямой к функции , т.е.

,

тогда коэффициенты этого ряда определяются по формулам

, , (22)

‰ Для доказательства используем лемму. Умножим (22) на 1 и проинтегрируем на отрезке , на и проинтегрируем, и проинтегрируем на отрезке . Интегрировать почленно можно, т.к. по условию функциональный ряд равномерно сходится. <

Аналогичная теорема имеет место для равномерно сходящегося тригометрического ряда по тригонометрической системе общего вида. Если

,

то

, , . (23)

Дальше все рассуждения будут проводиться для ряда (20), т.к заменой , ряд (21) сводится к ряду (20)

Определение 6. Если функция абсолютно интегрируема на то тригонометрический ряд (22), коэффициенты которого определяются по (23) называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициенты и , называется коэффициентами Фурье.

Пример 24. , . Найти коэффициенты Фурье и составить ряд Фурье.

Решение. Найдем коэффициенты ряда по формулам (23). Используя формулу интегрирования по частям, получим:

, , .

.

В теории рядов Фурье особое значение имеет вопрос: если интегрируемая на и по формулам (22), (23) формально построен ряд Фурье, то будет ли он сходится к ? При каких значения это возможно? Ответы на это вопросы будут даны ниже.