Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда





Теорема 4. (о перестановочности предельного перехода и суммирования).

а) Пусть выполняются условия:

1) последовательность равномерно сходится к функции на множестве ;

2) – предельная точка множества ;

3) существуют пределы .

Тогда последовательность сходится и

. (4)

б) Пусть выполняются условия:

1) ряд равномерно сходится к на ;

2) – предельная точка множества ;

3) существуют пределы .

Тогда ряд – сходится, причем

. (5)

‰ Доказательство выполним только для последовательности. Покажем, что последовательность сходится. Т.к. сходится равномерно на , то в силу критерия Коши (теорема 1) для такие, что и выполняется . Переходя к пределу в неравенстве при , так как , получим , т.е. последовательность фундаментальная, а это означает, что она сходится.

Докажем справедливость формулы (4). Возьмем . В силу равномерной сходимости для такое, что и выполняется

. (6)

Так как , то для выполняется

. (7)

Возьмем . Для этого N справедливы неравенства (6) и (7). Так как , то , что выполнится

при . (8)

Тогда будем иметь из (6) – (8):

,

т.е. <

Замечание. Поскольку , , то (4) можно записать

.

Таким образом, в случае равномерной сходимости и при существовании , порядок взятия предела можно изменять.

Аналогично для функциональных рядов имеем

.

Таким образом, если ряд равномерно сходится на множестве и существуют пределы , то операции предельного перехода и суммирования перестановочны.

Теорема 5. (о непрерывности предельной функции и суммы ряда).

а) Пусть последовательность непрерывных на отрезке функций равномерно сходится к на , тогда ее предел также непрерывная на [ a, b ] функция.

б) Пусть все члены ряда непрерывные на функции, а сам ряд сходится равномерно на , тогда его сумма также непрерывна на

‰ Доказательство для рядов. Пусть . Надо доказать, что непрерывна для . Возьмем и найдем предел в этой точке. Используя предыдущую теорему, получим

.

Аналогично для последовательности. <

Если последовательность непрерывных функций (ряд) сходится неравномерно, то ее предел (сумма ряда) может быть разрывной функцией.

Пример 11. на отрезке .

Решение. Члены ряда непрерывны на и .

,

т.е. получили, что – разрывная в точках .

Теорема 6. (о дифференцировании функциональных последовательностей и рядов).

а) Пусть задана последовательность , удовлетворяющая следующим условиям:

1) дифференцируема на для ;

2) последовательность сходится при некотором ;

3) последовательность равномерно сходится на .

Тогда последовательность равномерно сходится на отрезке к некоторой функции и (), причем

, . (9)

б) Пусть ряд удовлетворяет следующим условиям:

1) для дифференцируема на ;

2) ряд сходится при некотором ;

3) ряд сходится равномерно на .

Тогда ряд сходится равномерно на к некоторой функции , т.е. , и причем

.

‰ Доказательство приведем для последовательности. Покажем, что и сходится равномерно на . Используем критерий Коши. Пусть и . Из очевидного тождества

для

получим следующее неравенство

, .

Возьмем произвольное . Т.к. последовательность сходится равномерно на , то , что при всех и для выполнится

.

Так как сходится, то , что для выполняется

.

Тогда получаем

для и , следовательно, в силу критерия Коши, последовательность равномерно сходится на к .

Докажем равенство (9). Пусть – произвольная точка . Рассмотрим последовательность определенную на множестве и докажем, что она сходится равномерно. Рассмотрим . Применим к формулу Лагранжа или

.

Тогда

,

т.к. последовательность сходится равномерно.

Таким образом, для , что выполняется для и в силу равномерной сходимости . Откуда следует, что последовательность сходится равномерно на , причем

.

.

.

Поэтому , и по определению производной выполняется .

Тогда по теореме 1 последовательность сходится, причем . Так как произвольная точка , то теорема доказана. <

 

Таким образом, при выполнении условий теоремы операции предельного перехода и дифференцирования, а также суммирование и дифференцирование перестановочны.

Отметим, что если в теореме отбросить условие равномерной сходимости на , то теорема неверна.

 

Теорема 7. (об интегрировании функциональных последовательностей и рядов).

а) Пусть последовательность равномерно сходится к некоторой функции на отрезке , причем каждая имеет первообразную на . Тогда

.

б) Пусть ряд равномерно сходится на отрезке , причем каждая из функций имеет первообразную на . Тогда ряд сходится равномерно на , причем

, (9)

т.е. ряд можно почленно интегрировать.

‰ Докажем теорему для последовательностей. Положим , . Тогда причем

1) – дифференцируемая функция ;

2) последовательность – сходится;

3) последовательность сходится равномерно на .

Следовательно, последовательность по предыдущей теореме сходится равномерно на к некоторой функции причем

.

Отсюда следует, что

.

Таким образом, при на .

Подставляя , получаем, что . <

Пример 12. Рассмотрим ряд . Он равномерно сходится на , по признаку Вейерштрасса. Тогда его можно почленно интегрировать. Получим:

.

Так как любое число из (0, 1), то представление справедливо . Таким образом, можно приближенно вычислить логарифмы.







Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 2093. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...


Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия