Свойства коэффициентов Фурье

Коэффициенты ряда Фурье обладают рядом важных свойств.

1. Если имеет период (например, рис. 11.1), то коэффициенты ряда Фурье для нее вычисляются по следующим формулам

, , .

ƒ Известны свойства периодических функций

а) ;

б) ;

в) .

Тогда доказываемые формулы получаются, если в них положить , . <

2. Если четная функция, то для .

Если нечетная функция, то , для .

ƒ По определению: четная функция удовлетворяет условию , а нечетная . Известно, что:

а) если , четные функции, то – четная;

б) если нечетная, а четная, то – нечетная;

в) если и нечетная, то – четная.

Тогда, если – четная, то – нечетная, т.к. нечетная.

.

Таким образом, . Аналогично доказывается, что если нечетная, то . <

Из этого свойства следует, что тригонометрический ряд Фурье для четных функций имеет вид

,

где , ,

Для нечетных функций тригонометрический ряд Фурье соответственно имеет вид

,

где ,

Сделанные выводы сохраняются для тригонометрических рядов по системе общего вида. Для четной функции:

,

где , .

Для нечетной функции:

,

где .

3. Лемма Римана. Если кусочно-непрерывная функция на , то , .

ƒ Пусть , , …, точки разрыва функции . Для доказательства достаточно показать, что интегралы от функции и по каждому из отрезков , , …, стремятся к нулю при . Пусть один из таких отрезков, непрерывна на . Покажем, что .

Функция непрерывна на , следовательно, она ограничена

для (24)

и по теореме Кантора равномерно непрерывна. Следовательно, для такое, что для выполняется , тогда

для . (25)

Зададим и выберем на с шагом разбиение так, чтобы , и .

Произведем оценку интеграла:

.

Так как , то из (24) и (25) имеем

,

при .

Откуда следует, что при имеем

, т.е. . <

Тогда, очевидно, что для кусочно-непрерывной на функции

.

Последнее следует из формул (23).

Пример 25. Разложить в ряд Фурье двумя способами функцию, представленную на рис. 11.2 по косинусам и по синусам.

Решение.

а) Разложение в ряд по косинусам. Продолжим , как показано на рис. 11.3, получим четную функцию , определенную на и совпадающую с на .

Вычислим коэффициенты ряда Фурье, учитывая, что

.

.

Разложение будет иметь вид

.

б) Разложение в ряд по синусам. Продолжим , как показано на рис. 11.4, получим функцию , определенную на и совпадающую с на .

Вычислим коэффициенты ряда Фурье. Так как получившаяся функция нечетная, то

.

Получаем выражение для ряда Фурье заданной функции

.