Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Интеграл Фурье





Пусть функция задана на всей числовой прямой и абсолютна интегрируема на ней. Составим для интеграл, соответствующий в определенном смысле ряду Фурье, в котором суммирование по индексу заменено интегрированием по параметру :

, (31)

где , . (32)

Интеграл (31) аналогичен ряду Фурье периодической функции, только суммирование заменено интегрированием. Подставим (32) в (31), получим

 

.

Определение 8. Интеграл

(33)

называется интегралом Фурье функции .

Подобно тому, как при некоторых условиях периодическая функция раскладывается в ряд Фурье, так и при некоторых условиях , определенная на всей числовой представляется своим интегралом Фурье.

Теорема 17. Пусть:

1) кусочно-непрерывная на любом числовой прямой;

2) имеют всюду правую и левую производные, т.е. и для ;

3) интеграл сходится.

Тогда при любом имеет место равенство

. (34)

(Без доказательства.)

Вспомним понятие главного значения несобственного интеграла на действительной оси. Если интегрируема в собственном или несобственном смысле на любом отрезке числовой прямой (т.е. локально интегрируема), тогда

v.p. , (35)

где v.p. сокращение от value principle.

Отличие интеграла, стоящего справа, от интеграла слева в равенстве (35), состоит в том, что является пределом интегралов при произвольном стремлении , , а интеграл (35) предел тех же интегралов, но при и . Если существует несобственный интеграл, то существует и интеграл в смысле v.p., но не наоборот.

Например, не существует, а v.p. существует и равен нулю. Если – нечетная, то v.p. .

Пусть функция непрерывна и абсолютно интегрируема на всей числовой прямой, и имеет в односторонние производные, тогда по теореме 15

.

Отсюда, в силу четности косинуса, следует, что

.

Рассмотрим функцию

Она непрерывна и абсолютно интегрируема по признаку Вейерштрасса, так как , а – абсолютно интегрируема. В силу нечетности синуса также нечетная, поэтому

v.p. .

Тогда

.

Перепишем полученное равенство

.

Определение 9. Отображение F, ставящее в соответствие функции функцию (или ), определяемое формулой

называется преобразованием Фурье.

Отображение , ставящее в соответствие функции , функцию , определяемую формулой называется обратным преобразованием Фурье. Из формулы ясно, что .

Контрольные вопросы

1. Что называется функциональным рядом? Дайте определения сходящегося и равномерно сходящегося функциональных рядов. В чем состоит отличие?

2. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса для функциональных рядов. Приведите примеры применения.

3. Сформулируйте теорему о пределе суммы функционального ряда и теорему об её непрерывности. Приведите пример ряда с непрерывными функциями, у которого сумма является разрывной функцией.

4. Сформулируйте теоремы о дифференцировании и интегрировании функционального ряда. Приведите примеры применения.

5. Какой функциональный ряд называется степенным? Сформулируйте теорему Коши-Адамара. Какое множество является областью сходимости степенного ряда? Как его находят?

6. Сформулируйте теорему Абеля и теорему о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда. Приведите пример применения последней теоремы.

7. Какой степенной ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты этого ряда?

8. В чем состоит необходимое и достаточное условие сходимости к своему ряду Тейлора? Только достаточное? Приведите пример функции, к которой не сходится её ряд Тейлора.

9. Запишите разложения следующих функций в ряд Маклорена: .

10. Что называется основной тригонометрической системой и тригонометрической системой общего вида? Что означает ортогональность этих систем?

11. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье по основной тригонометрической системе и по тригонометрической системе общего вида.

12. Сформулируйте свойства коэффициентов Фурье, а также лемму Римана.

13. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье: а) для четных функций; б) для нечетных функций

14. Сформулируйте теорему Вейерштрасса. Какими свойствами должна обладать функция, чтобы абсолютно и равномерно сходился ее ряд Фурье?

15. Запишите тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме и коэффициенты Фурье. Приведите пример.

16. Какой вид имеет интеграл Фурье? При каких условиях интеграл Фурье сходится? Запишите интегральное преобразование Фурье.

 

 







Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 817. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...


Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Прием и регистрация больных Пути госпитализации больных в стационар могут быть различны. В цен­тральное приемное отделение больные могут быть доставлены: 1) машиной скорой медицинской помощи в случае возникновения остро­го или обострения хронического заболевания...

ПУНКЦИЯ И КАТЕТЕРИЗАЦИЯ ПОДКЛЮЧИЧНОЙ ВЕНЫ   Пункцию и катетеризацию подключичной вены обычно производит хирург или анестезиолог, иногда — специально обученный терапевт...

Ситуация 26. ПРОВЕРЕНО МИНЗДРАВОМ   Станислав Свердлов закончил российско-американский факультет менеджмента Томского государственного университета...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической   Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия