Ряд Тейлора

Пусть функция является суммой степенного ряда

, (15)

интервал сходимости которого есть .

Найдем коэффициенты . В интервале сходимости ряд можно почленно дифференцировать, причем получится ряд, сходящийся в этом интервале. Продифференцируем последовательно ряд раз

,

,

,

......................

Положим в этих тождествах.

; ; ; ; .

Откуда коэффициенты ряда

, , ,…, .

Подставляя в (15) получим ряд

(16)

Полученный ряд (16) называется рядом Тейлора для функции .

В частности, если , то этот ряд называется рядом Маклорена.

Таким образом, если степенной ряд имеет сумму , то коэффициенты этого ряда определяются по формулам

, (17)

В этом случае говорят, что функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки или по степеням . Очевидно, что ряд Тейлора является бесконечным продолжением формулы Тейлора.

Ясно, что если разлагается в степенной ряд (т.е. является суммой степенного ряда), то она число раз дифференцируема.

Поставим обратную задачу. Пусть – бесконечное число раз дифференцируемая функция в точке . Составим для нее формально ряд Тейлора (16), т.е. найдем коэффициенты по формулам (17). Возникает вопрос: будет ли сумма данного ряда Тейлора совпадать с функцией , для которой он составлен?

Теорема 12. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора необходимо и достаточно, что бы остаточный ряд в формуле Тейлора для функции в окрестности точки стремится к 0 при , т.е.

(18)

‰ Запишем формулу Тейлора в окрестности точки ,

где , остаточный член в формуле Лагранжа.

Ясно, что ряд Тейлора представляет собой бесконечное удлинение функции Тейлора.

Необходимость. Обозначим частичную сумму ряда

.

Тогда из формулы Тейлора получаем , .

Пусть – сумма ряда Тейлора, т.е. . Тогда из , .

Достаточность. Пусть, . Из следует, что , т.е. является суммой ряда Тейлора. <

Непосредственная проверка выполнения условия (18) обычно бывает довольно сложной. Сформулируем достаточное условие сходимости ряда (16) к .

Теорема 13. Пусть функция бесконечное число раз дифференцируемая в некоторой окрестности точки и , что выполняется

, и , (19)

тогда ряд (16) сходится к .

‰ Надо показать, что при сделанных предположениях в теореме выполняется условие (18). Из формулы

следует, что . Но (известно из теоремы пределов). Тогда условие (18) выполняется и из теоремы 12 следует, что теорема доказана. <

Следствие. Пусть все производные ограничены в совокупности в интервале и , т.е. , что выполнится для и . Тогда ряд Тейлора сходится к на .

Заметим, что ряд Тейлора не всегда сходится к той функции, для которой он написан.

Пример 16. (Адамар) Функция бесконечное число раз дифференцируема. Если , то и функция, очевидно, дифференцируемая. При производные вычисляются по определению, причем . Отсюда и ясно, что полученный ряд тождественно равен нулю и не сходится к функции .

Получим разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды.

Показательная функция , .

, .

.

При ряд Тейлора имеет вид:

На произвольном интервале и все ее производные ограничены в совокупности для и . Тогда по следствию ряд сходится к на . Так как число произвольное, то ряд сходится на всей числовой прямой.

Функция , .

– бесконечно число раздифференцируемая.

, , , , …

Получаем , , , , , …

Все ее производные ограничены в совокупности на всей числовой прямой так как

.

Следовательно, формула

справедлива при всех , т.е. степенной ряд сходится для .

Функция , .

вывод аналогичный. Областью сходимости являетсяснова вся числовая прямая.

Степенная функция , , , .

,

,

.

…

.

Вычисляя , получим степенной ряд Маклорена, который называется биномиальным рядом:

По признаку Даламбера легко показать, что областью сходимости биномиального ряда является интервал . Поведение при зависит от . Показано, что при .

Если – натуральное число, то все коэффициенты при степенях при равны нулю и разложение превращается в формулу бинома Ньютона, верную при всех

.

Стандартным путем разложения известной функции в степенной ряд является следующий: вычисляют производные, формально составляют ряд Тейлора и смотрят, сходится или не сходится ряд к . Однако часто этот путь является сложным. Поэтому используют другие приемы, так, например, были получены разложение и с помощью дифференцирования и интегрирования известного степенного ряда.

Логарифмическая функция

.

Интервал сходимости . Это легко показать по признаку Даламбера.

Функция .

Интервал сходимости .

Для разложений функций в степенные ряды обычно используют эти разложения, а также разложения

, , справедливые при .

Пример 17. Разложить в ряд по степеням х.

Решение. Так как , то можно воспользоваться разложением в ряд для функции .

Пример 18. Разложить в ряд по степеням х.

Решение. Так как , то можно воспользоваться разложением в ряд для функции .

Пример 19. Разложить в ряд по степеням х.

Решение. Воспользуемся формулой понижения степени и представим исходную функцию следующим образом

.

Воспользуемся известным разложением в ряд функции , получим

.

Пример 20. Разложить в ряд по степеням .

Решение. Преобразуем выражение для функции и воспользуемся известным разложением для .

Пример 21. Разложить в ряд по степеням .

Решение. Представим исходную функцию следующим образом

.

Вычислим коэффициенты ряда:

,

,

,

,

, …

.

Получаем ряд

Пример 22. Разложить в ряд функцию по степеням . Указание .

Решение. Воспользуемся формулой (9). Учитывая, что , получаем

.

Замечание. Разложение функции в степенные ряды используют для решения многих задач: вычисления пределов; нахождения интегралов; приближенное вычисление значений функции; приближенного вычисления определенных интегралов; приближенного решения дифференциальных уравнений и т.д.

Пример 23. Вчислить интеграл с точностью δ=0,001: