ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ. В настоящее время в научных исследованиях широкое применение получили математико-статистические методы планирования экспериментов

В настоящее время в научных исследованиях широкое применение получили математико-статистические методы планирования экспериментов, в которых математический аппарат играет активную роль, диктуя исследователю определенную схему постановки эксперимента и последовательность анализа результатов.

В задачу планирования эксперимента входит:

· выбор необходимых для эксперимента опытов, т.е. построение матрицы планирования;

· выбор методов математической обработки результатов эксперимента.

Матрица планирования эксперимента представляет собой таблицу, в которой указаны значения уровней факторов в различных сериях опытов. Матрицы планирования должны удовлетворять ряду требований:

· ортогональность – независимость получаемых коэффициентов регрессии и возможность исключения членов модели с незначимыми коэффициентами без последующего пересчета значимых коэффициентов;

· ротатабельность – постоянство дисперсии выходного параметра на равных расстояниях от центра эксперимента;

· униформность – постоянство дисперсии выходного параметра в некоторой области вокруг центра эксперимента.

Эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней исследуемых факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Он применяется для получения регрессионной многофакторной модели (РМФМ) при исследовании локального участка факторного пространства, не соответствующего его экстремальной части РИФМ, получаемая по результатам ПФЭ, имеет вид линейного полинома:

 

YR = b0 + b1·X1 + … + bМ·XМ

(6.1)

 

или неполного полинома второго порядка:

 

YR = b0 + b1·X1 + … + bi·Xi + …+ b12x1x2 + … + bijxixj + … + bМ-1·XМ-1XM,

(6.2)

 

где Y_R – расчетное значение выходного параметра;

х_i – кодированные значения уровней факторов;

b_i, b_ij – значения коэффициентов регрессии;

i = 1, …, М; j = 1, …, М – номер фактора.

При факторном планировании, в отличие от традиционного (однофакторного), по величине коэффициентов регрессии b_i, b_ij в РМФМ можно судить о влиянии на выходной параметр не только каждого фактора x_i, но и их взаимодействия x_ix_j, т.е. изменения влияния одного фактора при переходе второго фактора на другой уровень.

 

Разработка матрицы планирования

 

Для составления матрицы планирования необходимо определить требуемое количество опытов:

N = kN,

(6.3)

 

где k – число уровней варьирования каждого фактора, изменяя которое можно уменьшать или увеличивать N.

Необходимо учесть, что для вычисления коэффициентов регрессии искомого уравнения (6.1) должно соблюдаться условие N ³ N_k (N_k – число коэффициентов регрессия в РМФМ), а для оценки адекватности полученной модели это условие усиливается, т.е. N > N_k.

В матрице планирования используются кодированные значения уровней фактора:

(-) – нижний уровень фактора (равен -1);

(+) – верхний уровень фактора (равен +1).

Например, для двухуровневого трехфакторного эксперимента (2³) матрица ПФЭ содержит восемь опытов (форма таблицы приведена ниже). Для изучения описываемой методики можно воспользоваться значениями, приведенными в приложении И.

 

u

Факторы

Сочетания

Yui

S2{Y}

x0

x1

x2

x3

x1x2

x1x3

x2x3

x1x2x3

Yu1

Yu2

+

-

-

-

+

+

-

-

+

-

+

-

+

+

+

-

+

-

-

+

+

+

-

+

+

-

+

+

+

+

+

+

ki

¾

¾

S

S

 

Обработку результатов ПФЭ проводят в следующем порядке.