Расчет однофазной разветвленной цепи переменного тока с помощью комплексных чисел

В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке 2.3, действуют две синусоидальных ЭДС e₁ = E_1m sin (314t +Ψ_1e) В и e₂ = E_2m sin (314t +Ψ_2e). Параметры ЭДС и элементов схемы E_1m = 537,4 В; Ψ_1e = 0⁰; E_2m= 933,4 В; Ψ_2e = 30⁰; R₁ = 3 Ом; Х_L1 = 4 Ом; Х_С1 = 0; R₂ = 8 Ом; Х_L2 = 0;

Х_С2 = 6 Ом; R₃ = 12 Ом; Х_L3 = 20 Ом; Х_С3 = 4 Ом.

Определить токи в ветвях. Расчет вести методом двух узлов с применением комплексных чисел.

Рисунок 2.3 – Схема разветвленной цепи переменного тока с двумя узлами

Задачу решаем символическим методом. Поэтому ее решение такое же, как при постоянном токе.

Для решения необходимо представить сопротивления ветвей схемы в алгебраической и показательной формах записи комплексного числа:

Z ₁ = R₁ + j (X_L1 – X_С1) (2.38)

Z ₂ = R₂ + j (X_L2 – X_С2) (2.39)

Z ₃ = R₃ + j (X_L3 – X_С3) (2.40)

Z ₁ = 3 + j (4 – 0) = 5 e ^{j 53,1˚} Ом

Z ₂ = 8 + j (0 – 6) = 10 e ^{– j 36,9˚} Ом

Z ₃ = 12 + j (20 – 4) = 20 e ^{j 53,1˚} Ом

Cхема приобретает вид (рисунок 2.4)

 

Рисунок 2.4 – Схема разветвленной цепи переменного тока в комплексном виде

Обозначим на схемах направления токов ветвей İ₁, İ₂, İ₃, произвольно выберем их направления к узлу 1.

Определим действующие значения ЭДС:

(2.41)

(2.42)

Запишем значения ЭДС в показательной и алгебраической формах записи комплексного числа:

Ė₁ = E₁e ^{j Ψ1˚} (2.43)

Ė₂ = E₂e ^{j Ψ2˚} (2.44)

Ė₁ = 380 e ^{j 0˚} = 380 + j0 В

Ė₂ = 660 e ^{j 30˚} = 571,6 + j330 В

Определяем проводимости ветвей в комплексной форме:

(2.45)

(2.46)

(2.47)

Определяем узловое напряжение :

(2.48)

Определяем токи ветвей:

(2.49)

(2.50)

(2.51)

Проверим правильность решения по первому закону Кирхгофа:

İ₁+ İ₂+ İ₃ = 0

(– 3.7 – j41.0) + (16,0 + j36.0) + (– 12,3 + j5.0) = 0

Вывод: токи определены верно.

 

Определяем мощности источников по формулам:

(2.52)

(2.53)

где, = 41.2 e ^{j 95,1˚} А – вектор тока, сопряженный с током İ₁ = 41.2 e ^{– j 95,1˚} А

= 39,5 e ^{– j 65,3˚} А – вектор тока, сопряженный с током İ₂ = 39,5 e ^{j 65,3˚} А

= 380 e ^{j 0˚} × 41.2 e ^{j 95,1˚} = 15656 e ^{j 95,1˚} = – 1392 + j15594 ВА

= 660 e ^{j 30˚} × 39,5 e ^{– j 65,3˚} = 26070 e ^{– j 35,3˚} = 21277 – j15065 ВА